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Wie ist die Welt entstanden?
Philipp Wehrli, 29. Dezember 2009, überarbeitet am 2. Dezember 2010
Das Urknallmodell erklärt nicht, weshalb überhaupt eine Welt da ist und nicht einfach nichts. Die Frage, weshalb es eine Welt gibt, gehört nicht zur Physik. Physiker beschreiben nur das Beobachtbare, aber der Anfang der Welt, der Übergang vom Nichts zum Etwas, ist nicht beobachtbar. Ich überschreite hier diese Grenze der Physik. Statt das Beobachtbare zu erforschen, analysiere ich, was 'Nichts' überhaupt bedeuten würde. Wie würde die Welt aussehen, wenn da nichts wäre? Was wäre, wenn Gott nichts gesagt hätte? Wenn nirgends irgendwelche Naturgesetze festgelegt wären?
Ich behaupte: Wenn nirgends Naturgesetze aufgeschrieben sind, wenn das Universum also sozusagen ein System ohne jede Information ist, dann gelten in diesem Universum genau die Naturgesetze, die wir kennen. Wir würden genau die Sorten von Teilchen finden, die wir tatsächlich gefunden haben. Wenn es in einem Universum keinen Gott gibt, dann muss dieses Universum so aussehen wie das unsere.
Die folgenden Überlegungen basieren zum grossen Teil auf sehr abstrakten Sätzen der Mathematik, insbesondere der Gruppentheorie. An der vollständigen, mathematisch sauberen Fassung arbeite ich noch. Die folgende Kurzfassung ist provisorisch und eigentlich noch nicht reif zur Veröffentlichung. Da ich aber immer wieder darauf angesprochen werde, will ich den aktuellen Stand meiner Arbeit hier publizieren. Der Text ist nicht anerkannte Physik, sondern meine persönliche Spekulation. Er enthält sicher noch Fehler,vielleicht sogar grobe. Dennoch glaube ich, die Sache so weit verstanden zu haben, dass ich die Idee im Kern nicht mehr ändern muss.
1. Worum geht es?
Ende 19. Jh. glaubten viele Physiker, die Physik sei mehr oder weniger abgeschlossen, es blieben nur noch einige Konstanten genau auszumessen und einige Details zu klären. Ich habe mich immer gefragt, wie jemand dies glauben konnte. Die klassische Physik ist doch offensichtlich nicht abgeschlossen. Sie erhebt auch gar nicht den Anspruch, abgeschlossen zu sein, denn sie geht nicht auf die Frage ein, woher die Welt kommt, bzw. weshalb es die Welt gibt. Die Physik könnte erst dann als abgeschlossen bezeichnet werden, wenn klar wäre, weshalb da ein Raum, eine Zeit und Materie sind und weshalb die so sind, wie wir sie sehen. Diese Fragen werden in der klassischen Physik ja noch nicht einmal berührt!
Auf die Frage, was Materie ist, gibt die klassische Physik die Antwort: Materie ist aus kleinen, unteilbaren Materieteilchen zusammengesetzt.
Damit ist aber nichts erklärt! Die Begriffe in der Erklärung müssten einfacher und fundamental anders sein als die Begriffe, die sie erklären sollen. Den Begriff Materie mit dem Begriff Materie zu erklären, bringt keine neue Erkenntnis. Wenn wir erklären wollen, weshalb es Raum, Zeit und Materie gibt, dann müssen wir diese Begriffe auf etwas fundamental anderes zurückführen, auf Begriffe, die von den Begriffen Raum, Zeit und Materie völlig unabhängig sind.
Die moderne Physik geht ein Stück weit in dieser Richtung. Nach der Relativitätstheorie sind Raum und Zeit nicht mehr so starre Gebilde. Der Raum kann endlich, aber dennoch grenzenlos sein, wenn er in sich geschlossen ist. Die Welt muss nicht unendlich alt sein und müsste doch nicht unbedingt einen Anfang haben, weil die Zeit nicht überall gleich schnell läuft. Nach der Quantentheorie kann Materie aus reiner Energie entstehen. Dies deutet an, dass wir heute längst nicht mehr so weit von einer abgeschlossenen Physik entfernt sind. Wenn Raum und Zeit in sich abgeschlossen sein können, machen die Fragen "Was war vorher?" und "Was ist ausserhalb?" keinen Sinn mehr.
Dennoch wird der Abschluss des Weltbildes kaum je von Physikern versucht. Wenn Physiker von einer ‚Weltformel’ reden, dann meinen sie nicht eine Formel, die erklärt, wie die Welt aus dem Nichts entstand, sondern sie meinen eine Formel, welche die Quantentheorie und die Relativitätstheorie vereinigt. Diese Formel würde alle beobachteten Dinge korrekt beschreiben. Sie würde aber nicht erklären, weshalb da überhaupt beobachtbare Dinge sind. Sie würde auch nicht erklären, weshalb da eine Welt ist und nicht Nichts. Die Weltformel, wie sie von Physikern verstanden wird, sagt nichts über die 'Schöpfung' aus.
Diese Grenze haben sich die Physiker selber auferlegt. Nach Ansicht der meisten Physiker soll sich die Physik auf beobachtbare Aussagen beschränken. Alles, was darüber hinaus geht, ist Metaphysik. Das Nichts ist aber per definitionem nicht beobachtbar. Deshalb macht die Physik per definitionem keine Aussage darüber, wie die Welt aus dem Nichts entstand, bzw. weshalb da eine Welt ist und nicht Nichts. Die Physik wird deshalb nie abgeschlossen sein, weil sie den Abschluss des Weltbildes gar nicht zu ihrem Aufgabenbereich zählt. Ich bedauere das. Denn wenn die Physik eine Alternative zu den Schöpfungsgeschichten bieten will, darf sie sich vor dieser Frage nicht drücken. Ausserdem ist der Grad der Abgeschlossenheit unseres Weltbildes ein Indikator, wie viel wir noch nicht wissen.
Ich durchbreche hier bewusst den engen Rahmen der Physik, die sich nur auf das Beobachtbare bezieht. Ich beschreibe hier nicht, was ich beobachte, sondern ich frage: Wie müsste eine Theorie der Welt sein, damit sie abgeschlossen wäre? –Ich will kein unerklärtes ‚Vorher’ oder ‚Ausserhalb’ und ich will keinen Gott, bei dem ich nicht weiterfragen darf. Ich will nichts voraussetzen. Keinen Raum keine Zeit keine Materie, keine Naturgesetze. Ich will schauen, wie eine Welt wäre, die ohne Voraussetzung, ohne Axiome, ohne Annahmen einfach Nichts ist. Ich behaupte: Wenn ich in einer möglichst präzisen und aussagekräftigen Sprache dieses 'Nichts' nachahme, wenn ich also eine Aussage ohne Inhalt konstruiere, dann wird ein Teil dieser Aussage sich gerade als perfektes Abbild unserer Welt entpuppen. Wenn dies gelingt, wären mit der einfachsten möglichen Theorie alle unsere Beobachtungen erklärt. Dann können wir wohl behaupten, wir hätten die Welt in den Grundzügen verstanden. Es bliebe dann kein Bereich mehr, der grundsätzlich unerklärbar wäre. Es bliebe kein Raum für einen Schöpfer.
2. Wie vermeide ich einen unendlichen Regress?
Ich gehe also grundsätzlich anders vor, als Physiker dies tun. Ein Beispiel soll zeigen, dass diese Vorgehensweise Erfolg verspricht. Wir können uns fragen, weshalb die Erde nicht herunter fällt. Und wir können sagen: "Da ist vielleicht eine Schildkröte, die die Erde trägt."
Weshalb fällt die Schildkröte nicht hinunter? Ganz einfach: Da stehen unendlich viele Schildkröten aufeinander!
Befriedigend ist diese Antwort nicht. Denn die einzelne Schildkröte erklärt überhaupt nichts, sie verlagert nur das Problem. Indem unendlich viele Schildkröten angenommen werden, schieben wir das Problem unendlich weit weg. Und da können wir es wohl vergessen, auch wenn wir es nicht gelöst haben. Diese Strategie nennt man unendlichen Regress.
Mein Vorschlag ist: Kehren wir die Frage um! Überlegen wir uns, was "unten" bedeuten muss, damit es keinen unendlichen Regress gibt. Mit dieser umgekehrten Fragestellung sind wir der Wahrheit schon auf der Spur.
Einen ähnlichen unendlichen Regress ergibt die Frage: Was war vor dem Anfang der Welt? - Urknall und Schöpfung erscheinen hier gleichermassen als unbefriedigende Lösungen. Denn auch wenn viele Physiker mit der Urknalltheorie ganz zufrieden sind: Die Urknalltheorie erklärt nicht, weshalb da überhaupt eine Welt entstanden ist. Und auch wenn viele Gläubige an Gott ganz zufrieden sind: Der Glaube erklärt nicht, weshalb da ein Gott sein soll. Die Frage scheint das menschliche Vorstellungsvermögen bei weitem zu übersteigen. Die Physik befasst sich nur mit dem Beobachtbaren, wie soll sie Aussagen über die Zeit vor dem Anfang machen können?
Auch hier können wir aber die Frage umkehren und fragen: Wie können wir den unendlichen Regress vermeiden? - Schon der Kirchenvater Augustinus fand eine Antwort: Die Zeit ist eine Eigenschaft des Universums und hat vor dessen Beginn nicht existiert. Es dauerte mehr als 1500 Jahre, bis diese Vorstellung offiziell in die Physik aufgenommen wurde. Einsteins allgemeine Relativitätstheorie baut auf der Vorstellung, dass die Zeit nicht für alle Beobachter gleich schnell läuft. Nach der Urknalltheorie stand die Zeit am Anfang des Universums sogar völlig still.
Augustinus fand diese Antwort im 4. Jahrhundert nach Christus, lange bevor die Mathematik gekrümmter Räume und Einsteins Relativitätstheorie entdeckt worden sind. Auch ohne Kenntnisse der Mathematik ist seine Idee einleuchtend. Der Trick liegt einzig darin, die Frage umzukehren und den unendlichen Regress zu vermeiden.
Diesen Trick will ich nun auf eine weitere Frage anwenden, nämlich: Weshalb gibt es eine Welt und nicht Nichts? - Ich frage mich: Wie muss die Welt beschaffen sein, damit diese Frage nicht zu Paradoxien oder einem unendlichen Regress führt?
Wie haben wir in den obigen zwei Beispielen den unendlichen Regress aufgelöst? - Die Erde fällt nicht hinunter, weil 'unten' zur Erde gehört. “Vor dem Anfang” des Universums ist nicht definiert, weil die Zeit Teil des Universums ist. In ähnlicher Weise muss die Ursache des Universums Teil des Universums sein. Denn es gibt nichts, was nicht zum Universum gehört. Alle Information über das Universum muss im Universum stecken, denn es gibt kein Ausserhalb.
Abgeschlossen ist die Physik dann, wenn keine Frage über die Naturgesetze mehr offen bleibt. Es darf kein “Weshalb ist denn das so?” mehr bleiben. Dies ist nur möglich, wenn das vollständige Set der Naturgesetze keine Information enthält. Denn Information würde bedeuten, dass von mehreren Möglichkeiten, wie das Universum sein könnte, eine ausgelesen wird. Dann müssten wir uns aber fragen: Weshalb wurde gerade diese verwirklicht und nicht eine andere?
Es ist durchaus möglich, dass eine abgeschlossene Physik gar nicht möglich ist. Wenn die Naturgesetze in einigen Punkten willkürlich sind, dann werden wir keinen Grund finden, weshalb sie so sind und nicht anders. Mein Projekt funktioniert also nur dann, wenn das Universum als Ganzes null Information enthält, wenn es keinen Zufall und keine Willkür gibt, aber auch keinen Schöpfer, der die Naturgesetze festgelegt hat.
Viele Wissenschafter glauben, dass es keinen Gott, keinen Zufall und keine Willkür gibt. Es ist aber nur ein Universum möglich, das völlig frei von Willkür ist. Denn wenn es z. B. zwei solche Universen A und B möglich wären, müsste ich mich fragen, weshalb das Universum A verwirklicht ist und nicht B. Beide Universen können nach Definition nicht verwirklicht sein. Denn zum Universum gehört per definitionem alles, was ist. Wenn ein Universum mehrere voneinander getrennte Bereiche aufweist, spreche ich von Welten. Nach der Viele-Welten Theorie gäbe es also viele Welten, die zusammen ein Universum bilden.
Ich suche also das Universum, das keine Willkür enthält, das Set von Naturgesetzen, das keine Frage offen lässt. Dabei kann sich durchaus auch herausstellen, dass es kein solches Universum gibt. Dann hätte ich bewiesen, dass die Physik niemals abgeschlossen sein kann (was auch sehr viele Leute glauben). Wenn ich dieses Universum beschreiben kann, heisst das noch nicht, dass ich unser Universum beschrieben habe. Denn viele Leute halten es ja für möglich, dass unser Universum Willkür enthält oder sogar einen Gott, der die Naturgesetze geschaffen hat. Ob unser Universum dem Universum ohne Willkür entspricht, müssen Experimente und Beobachtungen zeigen.
Mein Vorhaben hat aber einen unschätzbaren Vorteil: Wenn wir mal von den mathematischen Problemen absehen, ist der Plan unglaublich einfach. Es gibt höchstens ein mögliches Universum mit einer abgeschlossenen Physik. Dies gilt es zu finden. Im Gegensatz dazu gibt es z. B. in der Stringtheorie Hunderte von Möglichkeiten, wie eine widerspruchsfreie Theorie aussehen könnte. Hier müssen also Hunderte von Theorien ausformuliert und durchgerechnet werden, bis durch Experimente zwischen ihnen unterschieden werden könnte.
3. Was bedeutet null Information?
Ich will also versuchen das Universum zu beschreiben, das null Information enthält. Was bedeutet Information? - ‚Information‘ kann auf unterschiedliche Weise definiert werden, aber alle Definitionen laufen darauf hinaus, dass von mehreren Möglichkeiten eine oder mehrere, aber nicht alle, ausgewählt werden.
Beispiel: Vor dem Würfeln habe ich keine Information, welche Zahl kommen wird. Es gibt sechs Möglichkeiten. Wenn ich aber den gefallenen Würfel gesehen habe, habe ich Information, denn von den sechs Möglichkeiten, bleibt nur eine einzige. Wenn jemand anders den Würfel sieht und mir sagt, eine ungerade Zahl liege oben, dann hätte ich ebenfalls Information. Denn nun kämen statt sechs nur noch drei Möglichkeiten in Frage.
Null Informationbedeutet, dass von allen Möglichkeiten keine ausgeschlossen ist.
Dies ist übrigens genau die Sichtweise, die wir in der Quantentheorie haben: Wenn wir über ein Teilchen nichts wissen, dann sind alle Zustände möglich. Solche Teilchen müssen wir beschreiben als eine Überlagerung aller möglichen Zustände. Dies wird auch bei meiner Physik so herauskommen: Da das Universum keine Information enthält, ist es eine Überlagerung aller möglichen Zustände, genau so, wie es von der Viele-Welten Interpretation beschrieben wird.
Eine analoge Situation kennen wir auch aus der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wenn jemand aus einem Kartenspiel eine bestimmte Anzahl Karten zieht, benötige ich eine bestimmte Anzahl Bits, um genau zu beschreiben, welche Karten er gezogen hat. Wenn er eine Karte aus einem Stapel von 32 Karten zieht, brauche ich z. B. 5 Bits, um anzugeben, welche Karte er gezogen hat (weil 25=32). Wenn jemand 0 Karten zieht, brauche ich keine Information, also 0 Bits, weil es nur eine Möglichkeit gibt, wie man null Karten ziehen kann. Wenn jemand alle Karten zieht, brauche ich ebenfalls keine Information, um dies zu beschreiben, vorausgesetzt, die Reihenfolge spielt keine Rolle.
Das Universum mit null Information entspricht etwa der “Bibliothek von Babel”, die Jorge Luis Borges im gleichnamigen Buch beschreibt. Die 1941 veröffentlichte Erzählung ist eine Spekulation über eine mögliche Welt, welche als eine Bibliothek aller möglichen Bücher dargestellt ist. Die Bibliothek enthält alle Kombinationen der 26 Buchstaben und Zeichen und auch alle Texte aller auf diesem Alphabet basierenden Sprachen. Darüber hinaus enthält die Bibliothek unzählige völlig sinnlose Aneinanderreihungen von Texten. Die Bibliothek besitzt also z. B. Goethes Faust im Originalwortlaut. Sie besitzt aber auch ein Buch, das Goethes Faust exakt gleicht, das aber statt mit Gretchens letztem Ausruf: "Heinrich! Heinrich!" mit "Hans-Martin!" aufhört. Jede beliebige Variante des Faust bis zur völligen Entstellung ist in der Bibliothek vorhanden.
Was muss ich angeben, um ein ganz bestimmtes Buch auszuleihen? Ich muss das Buch vom ersten bis zum letzten Buchstaben exakt niederschreiben, so wie ich es haben will! Denn wenn ich nur ein Detail offen lasse, so gibt es eine ganze Reihe von Büchern, die auf meine Bestellung zutreffen. Eine Bibliothek, die alle möglichen Bücher enthält, enthält null Information.
Information hängt immer damit zusammen, dass aus einer Reihe von Möglichkeiten einige ausgewählt werden. Man könnte nun denken, ein leerer Raum enthalte keine Information. Dies ist aber nicht korrekt. Denn wenn ich z. B. in meinen Kühlschrank blicke und sehe, dass er leer ist, dann gibt mir dies ziemlich viel Information. Von den Möglichkeiten 'voller Kühlschrank' und 'leerer Kühlschrank' wurde die eine Möglichkeit ausgewählt und diese Wahl enthält Information. Keine Information bedeutet, ich habe keine Ahnung, ob der Kühlschrank voll oder leer ist oder in irgendeiner Weise teilweise gefüllt.
4. Die Herleitung der Physik aus einem System mit null Information
Ich werde nun einen kurzen Abriss meiner Überlegungen geben. Dieser soll auch für mathematisch nicht geschulte Leser verständlich sein. Wer sich für die mathematischen Herleitungen interessiert, findet diese in den zitierten Anhängen.
4.1. Relativistische Raumzeit, Quantentheorie und die Teilchen unserer Welt
Mein Projekt besteht darin, eine möglichst allgemeine Definition von Information zu finden und mir dann alle nur mögliche Information als Überlagerung vorzustellen.
Beim Versuch, Information möglichst allgemein zu definieren, stosse ich auf gewisse Verknüpfungseigenschaften. Information muss verknüpft werden können, nämlich wenn zwei Informationen sich auf das selbe Ding beziehen und wenn eine Information einer anderen folgt. Diese zwei Verknüpfungsmöglichkeiten haben die gleichen Eigenschaften wie die Addition und die Multiplikation. Ich werde zeigen: Die Axiome zur Verknüpfung von Information entsprechen somit den Körperaxiomen. Die komplexen Zahlen als der einfachste algebraisch abgeschlossene Körper eignen sich deshalb zur Beschreibung von Information. (Genaueres zu dieser Überlegung in Anhang 1).
Eigentlich sollten meine folgenden Überlegungen unabhängig sein von der Definition der Information. Vermutlich könnte man in ähnlicher Weise die gesamte Physik aus einem anderen Informationsbegriff herleiten. Versuche dazu gibt es bereits, siehe z. B. (Fri 1).
Wenn zu jeder Aussage eine Alternative zugelassen wird und wieder Abgeschlossenheit gefordert wird, kommt man auf Aussagenpaare, die den Qu-Bits sehr ähnlich sind. Qu-Bits sind die elementaren Informationseinheiten der Quantentheorie. Wer die Überlegungen in Anhang 1 nicht überzeugend findet, kann auch einfach sagen: Wir entscheiden uns, zur Beschreibung von Information Qu-Bits zu verwenden. Bei dieser möglichst allgemeinen Definition von Aussagenpaaren kommt man auf die Gruppe der hermiteschen Matrizen. Ich nenne diese Gruppe den Raum der Aussagenpaare. Der so gefundene Raum der Aussagenpaare ist mathematisch äquivalent zum Einsteinkosmos, also zu Einsteins Beschreibung des Universums. Ich identifiziere den Raum der Aussagenpaare mit unserer Raumzeit. Jedem Aussagenpaar entspricht also ein Punkt und eine Zeit in unserem Universum, also ein Punkt in einer 3+1 dimensionalen Raumzeit (Anhang 2).
Da ich null Information habe, sind diese Aussagen weder wahr noch falsch. Es handelt sich um einen Raum möglicher Aussagen. Ob eine bestimmte Aussage wahr, falsch, wahrscheinlich oder möglich ist, lässt sich nur relativ zu einem gegebenen Set als sicher angenommener Aussagen entscheiden.
Da es nur Aussagen und Beziehungen zwischen Aussagen gibt, können nur Aussagen über Aussagen und deren Beziehungen gemacht werden. Dabei gibt es zwei Typen von Aussagen. Erstens gibt es Aussagen, die den Raum der Aussagenpaare verzerren. Ich werde später zeigen, dass diese die tiefere Ursache der Kräfte sind. Zweitens gibt es Aussagen, die den Raum der Aussagenpaare nicht verzerren. Diese Untergruppe heisst SL(2, C). Sie ist äquivalent zur Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie. Hier gelten die Lorentztransformationen, also die spezielle Relativitätstheorie (Anhang 3).
Nun können wir über die Aussagenpaare sekundäre Aussagen gemacht werden. Jedem Punkt im Raum der Aussagenpaare kann wieder ein Raum von Aussagenpaaren zugeordnet werden. Wir erhalten also Abbildungen über der Raumzeit. Wie Fourier zeigte, können diese Abbildungen mittels einer sogenannten Fouriertransformation anders schreiben, nämlich als Überlagerung harmonischer Wellen in der Raumzeit. Die Frequenzen und die Wellenlängen dieser Wellen können wir als Energie und Impuls interpretieren, so dass wir Wellenpakete erhalten, die sich nach der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation bewegen (Anhang 4). Wie man sich diesen Zusammenhang von Energie-Impuls und Raumzeit vorstellen kann, beschreibe ich im Artikel Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation.
Durch die Fouriertransformation erhalten wir also Wellenpakete über der Raumzeit und einen Energie-Impulsraum. Wie Eugene Wigner als erster zeigte, haben die so gefundenen Wellenpakete genau die Eigenschaften, die wir von den Teilchen in unserem Universum kennen. Insbesondere gibt es Teilchen mit halbzahligem Spin, die sich wie Fermionen verhalten, und solche mit ganzzahligem Spin, die sich wie Bosonen verhalten (Anhang 5). Das Verhalten der Teilchen wird von der Klein-Gordon Gleichung und der Diracgleichung beschrieben, die ebenfalls aus den obigen Vorstellungen abgeleitet werden können (Anhang 6 und Anhang 7).
Die obigen Überlegungen sind inspiriert von Abhandlungen zur Urtheorie (Lyr 1), (Cas 1), (Wei 2), die mathematisch exakter ausformuliert sind. Allerdings haben diese Werke den Nachteil, dass sie in verschiedenen Punkten willkürlich sind. Die Leute, die heute an der Urtheorie arbeiten, wissen aus der heutigen Physik, wie die Naturgesetze sind. Sie versuchen deshalb, mit den Begriffen der Urtheorie diese Naturgesetze zu erhalten. Wie bei den Stringtheorien gibt es dabei immer wieder verschiedene Möglichkeiten, was einen enormen Aufwand bedeutet. Bei meinem Projekt habe ich nie eine Wahl. Es gibt -bis auf Äquivalenz- immer nur einen Weg, null Information darzustellen. Wenn ich auf diesem Weg scheitere, ist das ganze Projekt gescheitert, bzw., dann weiss ich eben, dass es in unserem Universum Willkür geben muss, was ja auch schon eine bedeutende Erkenntnis wäre.
4.2. Die vier Kräfte
Weiter ist den Physikern klar, wie man die vier Kräfte, nämlich die elektromagnetische, die schwache und die starke Kernkraft sowie die Gravitation mittels Eichfeldern beschreiben kann. Nicht klar ist, was die tiefere Bedeutung der Eichfelder ist. Ein Eichfeld ordnet einfach jedem Punkt der Raumzeit eine oder mehrere Zahlen zu.
Man kann sich dies etwa so vorstellen: Wenn ich einen kugelrunden Ballon drehe, sieht er immer noch gleich aus und an der Physik ändert sich nichts. Mathematiker sprechen von einer globalen Symmetrie, weil alle Punkte der Oberfläche um den gleichen Winkel gedreht werden. Bei einem Eichfeld werden aber nicht alle Punkte um den gleichen Winkel gedreht, sondern die Ballonoberfläche kann auch verzerrt werden. Weil die Drehung lokal verschieden ist, spricht man von einer lokalen Symmetrie. Die dabei auftretenden Verzerrungen führen zu Kräften, so wie bekanntlich die Gravitationskraft auf eine Verzerrung der Raumzeit zurückgeführt werden kann.
Physiker wissen aus Erfahrung, dass sich Eichfelder sehr gut eignen, um die Kräfte zu beschreiben. Es ist aber überhaupt nicht klar, was die Eichfelder bedeuten. Ich kann daher Eichfelder in meinem Projekt nicht einfach einführen. Ich will ja keine Information voraussetzen. Also darf ich auch nicht sagen: Ich weiss, dass die Kräfte mit Eichfeldern richtig beschrieben werden.
Ich habe aber noch ein zweites offenes Problem. Oben habe ich versucht, Information möglichst allgemein zu definieren. Und ich schrieb, dabeikommt man auf Aussagenpaare, die den Qu-Bits sehr ähnlich sind. Das Problem ist, dass ich beim oben skizzierten Vorgehen die mathematische Struktur der Aussagenpaare nur bis auf Äquivalenz festlegen kann. Es gibt viele gleichwertige Möglichkeiten, Aussagenpaare zu definieren. Zwar erhalte ich bei all diesen Möglichkeiten eine 3+1 dimensionale Raumzeit. Aber diese Raumzeiten unterscheiden sich. Dies liegt letztlich daran, dass das Qu-Bit mit Zahlen beschrieben wird und dass die Definition der Zahlen bis zu einem gewissen Grad willkürlich ist.
Dieses Problem erklärt Bertrand Russell sehr ausführlich in 'Einführung in die mathematische Philosophie', Vorwort von Michael Otte, Zitat von Russell:
In der axiomatischen Grundlegung der Arithmetik „wurde vorausgesetzt, dass wir nicht zu wissen brauchen, was wir unter Null, Zahl und Nachfolger zu verstehen haben, sofern wir nur irgend etwas darunter verstehen, was den fünf Axiomen [von Peano] genügt. Aber dann zeigt es sich, dass es eine unendliche Anzahl möglicher Deutungen gibt. Es möge z. B. 0 das bedeuten, was wir gewöhnlich als 1 bezeichnen, und es möge Zahl das bedeuten, was für gewöhnlich als natürliche Zahl ausser 0 bezeichnen. Dann sind alle fünf Axiome auch richtig, und die gesamte Arithmetik kann bewiesen werden, obwohl jede Formel eine ungewöhnliche Bedeutung hat. 2 bedeutet das, was wir gewöhnlich als 3 bezeichnen. Aber 2+2 bedeutet nicht etwa 3+3, sondern 3+2 … Solange wir im Gebiet der arithmetischen Formen bleiben, sind alle diese Deutungen des Begriffs Zahl gleich gut.“
Wir gehen normalerweise davon aus, es sei völlig klar, was Zahlen bedeuten. Wie das Russell-Zitat zeigt, gibt es hier durchaus Willkür. Anschaulich kann ich mir die Zahlengerade mit den reellen Zahlen vorstellen. Jeder Punkt auf der Geraden entspricht einer Zahl. Wenn ich so eine Gerade zeichne, bin ich frei, wo ich die Null hinsetze und wie ich die Abstände wähle. Ich kann mir die Zahlengerade sogar als Gummiband vorstellen, das nach Belieben gedehnt oder gestaucht werden kann. Jede mögliche Dehnung entspricht einem möglichen Zahlensystem und keines ist den anderen überlegen.
Dieses Problem verschärft sich noch, wenn wir von den reellen auf komplexe Zahlen und schliesslich auf die Gruppe der hermiteschen Matrizen übergehen, mit welcher die Aussagenpaare beschrieben werden. Damit der Raum der Aussagenpaare wohl defiert ist, muss in jedem Punkt zu jeder Richtung angegeben werden, wie stark der Raum hier gedehnt, geschert und gedreht ist.
Wenn ich konsequent ein System von null Information beschreiben will, darf ich keine dieser möglichen Interpretationen des Zahlensystems ausschliessen. Dies hat zum Effekt, dass ich nicht nur eine 3+1 dimensionale Raumzeit habe, sondern in jedem Punkt dieser Raumzeit noch eine Vorschrift, wie das verwendete Zahlensystem sich ändert, wenn ich mich in die verschiedenen Richtungen des Raumes und der Zeit bewege. Die Raumzeit erscheint also verzerrt. Ich behaupte: Die dadurch entstehenden Verzerrungen sind genau die Eichfelder, welche für die vier Kräfte verantwortlich sind. Ich behaupte, bei dieser Interpretation ergibt sich automatisch auch die erstaunliche links-rechts Asymmetrie, die ich im Artikel Kaonenzerfall beschreibe.
Um diese Eichfelder aus dem Raum der Aussagenpaare abzuleiten, benötigt man ziemlich schwierige Mathematik und ich habe die Ableitung noch nicht vollständig geschafft.
Mathematiker oder Physiker, die auf diesem Gebiet arbeiten, können vielleicht mit den folgenden Angaben etwas anfangen. (Dies ist etwa der aktuelle Stand meiner Arbeit). Wer sich für die mathematisch-technischen Fragen weniger interessiert, mag den weissen Abschnitt überspringen.
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4.3. Erklärung, wie die Eichung des Zahlensystems zu den vier Eichfeldern führt
Ich nenne die Gruppe der hermiteschen Matrizen den Raum der Aussagenpaare. Jede hermitesche Matrix M kann zerlegt werden in einen 'Streckfaktor' (det M)-1/2 multipliziert mit einer Matrix U aus SU(2,C), die mit den Paulimatrizen geschrieben werden kann als:
U = exp[asx + bsy + csz]
Damit gilt:
M = (det M)-1/2exp[asx + bsy + csz]
(det M)-1/2, a, b und c sind reelle Zahlen. An dieser Zerlegung sind vier Faktoren willkürlich gewählt und müssen geeicht werden:
1. Die Phase des Streckfaktors (det M)-1/2 : |(det M)-1/2| =: eij. Diese Eichung ist nötig, weil ich beim Auftragen der komplexen Zahlenebene frei bin, in welche Richtung ich die reelle und in welche Richtung ich die komplexe Achse zeichne. Die Eichung der Phase eij führt zur elektromagnetischen Kraft (Anhang 8).
2. Der Betrag des Streckfaktors |(det M)-1/2|. Die Eichung von |(det M)-1/2| führt zur Gravitationskraft. Dies entspricht der Feststellung, dass die reellen Zahlen nur bis auf Isomorphie festgelegt sind. Die Ableitungen des Feldes |(det M)-1/2| ergeben den metrischen Tensor.
3. Nachdem der Streckfaktor geeicht ist, verbleiben die reellen Zahlen: a, b und c, die zusammen die Matrix
[asx + bsy + csz + d1] aus SU(2,C)
(Da a2 + b2 + c2 + d2 = 1 ist, reicht es, wenn a, b und c definiert sind.)
definieren. a, b und c bilden also einen dreiwertigen Vektor, der in einem komplexen Raum gedreht, aber nicht gestreckt werden darf (der Streckfaktor steckt ja bereits in det M). Die dazu gehörende Eichgruppe ist die SU(3,C), die die starke Kraft beschreibt.
Man könnte sagen, die starke Wechselwirkung entsteht durch eine Eichung der Pauli-Matrizen. Es gibt viele Möglichkeiten, drei Matrizen zu definieren, die die Eigenschaften der Pauli-Matrizen haben. Auch diese Wahl muss also geeicht werden. Dies geschieht mit Matrizen aus SU(3,C), die jedem Tripel solcher Matrizen drei andere zuordnen.
4. Durch die obigen Eichungen ist das Koordinatensystem, in dem wir uns bewegen, definiert. Jede hermitesche Matrix, also jedes Aussagenpaar wird also zerlegt in (det M)-1/2[asx + bsy + csz]. Nicht klar ist aber die Bedeutung dieser Matrizen. Eine Matrix M enthält z. B. die Einträge M11,M22,M12und M21.
Das Aussagenpaar M wandelt ein anderes Aussagenpaar um. In meiner ursprünglichsten Interpretation stand M11 für die Aussage und M22 für die Antiaussage. M12und M21 waren beide null. M12wird dann ungleich Null, wenn die Aussage des ersten Aussagenpaars die Antiaussage des zweiten, auf die das erste Paar wirkt, verändert. Nun ist aber keineswegs klar, welches die Aussage und welches die Antiaussage ist. In einer anderen 'Sprache' könnte durchaus Aussage und Antiaussage vertauscht sein. Ja, das was ich Aussage nenne, könnte für eine andere Person sogar eine Überlagerung von Aussage und Antiaussage sein.
Nachdem ich also das Koordinatensystem geeicht habe, muss ich auch noch die allenfalls neue Bedeutung in die lokale `Sprache´ übersetzen. Dies bedeutet eine zusätzliche Drehung des Koordinatensystems, also ein Faktor N ausSU(2,C). Dieser Faktor ist die Ursache der schwachen Kraft.
(det M)-1/2 N [asx + bsy + csz]
Die Eichung von |b|, |c| und |d| führt zur schwachen Wechselwirkung. Die schwache Kraft basiert auf Boosts des Koordinatensystems. Dabei bleibt das Koordinatensystem aber orthonormiert, das heisst, die Achsen stehen immer noch orthogonal zueinander und die Längen der Einheitsvektoren verändern sich nicht.
4.4. Links/rechts Asymmetrie, wie sie beim Kaonenzerfall auftritt
Nach meinem Modell löst sich ein weiteres Rätsel von selbst, nämlich die links/rechts Asymmetrie, die wir z. B. beim Kaonenzerfall beobachten. Wie kann es sein, dass es in der Natur einen Unterschied zwischen links und rechts gibt? In der Geometrie können wir nur dann links und rechts unterscheiden, wenn der Raum orientiert ist. Das heisst, im Raum muss ein Koordinatensystem gegeben sein. Üblicherweise wählen wir in der euklidschen Geometrie ein rechtshändiges Koordinatensystem. D. h.: Wenn ich mit der rechten Hand die z-Achse umfasse, dann gehen meine Finger von der x-Achse zur y-Achse. Die Wahl der Orientierung ist aber willkürlich. In einer anderen Kultur würden die Leute die Orientierung vielleicht gerade umgekehrt wählen.
Satz der Geometrie macht einen grundsätzlichen Unterschied zwischen links und rechts. Wenn wir die Begriffe anders definiert hätten, würde ich eben die linke Hand als die rechte bezeichnen und umgekehrt. Wenn ich das Koordinatensystem spiegle, würde alles spiegelverkehrt ablaufen. Es gibt in der Geometrie keinen Grund, weshalb etwas, das links herum funktioniert, nach einer Spiegelung rechtsherum weniger gut funtionieren sollte. Dennoch macht die Natur diesen Unterschied!
Wenn ich nun die Natur vollständig mathematisch beschreiben will, so muss irgendwo in der mathematischen Beschreibung muss dieser Unterschied ins Spiel kommen. Wo?
In den Lösungen der Dirac Gleichung taucht der sogenannte Helizitätsoperator (s ·p)/|p| auf, wobei
s = (sx,sy,sz) ein aus den Paulimatrizen zusammengesetzter Vektor ist. Der Helizitätsoperator hat die Eigenwerte ±1.
Im Helizitätsoperator kommt neben s auch der Impuls p des Teilchens vor. Der Helizitätsoperator beschreibt, wie gross der Drehimpuls um die Bewegungsrichtung herum ist. Die Bewegungsrichtung ist aber natürlich vom Beobachter abhängig. Wenn das Teilchen von hinten überholt wird, ändert sich deshalb die Helizität. Ob ein Teilchen links- oder rechtshändig ist, bestimmt man, indem man mit dem Daumen der rechten Hand in Bewegungsrichtung zeigt. Wenn die Finger nun in der Drehrichtung zeigen, ist es ein rechtshändiges Teilchen, sonst ist das Teilchen linkshändig.
Was passiert nun mit dem Helizitätsoperator, wenn ich das ganze Geschehen im Spiegel betrachte? Auf den ersten Blick könnte man denken, die linkshändigen Teilchen würden nun rechtshändige und umgekehrt. Wenn wir dies mit richtigen Teilchen und einem richtigen Spiegel tun, würde natürlich genau das passieren. Wenn wir aber die ganze Geometrie des Raumes, so wie wir ihn jetzt aufgebaut haben, spiegeln, ändert sich die Händigkeit nicht!
Der Grund dafür ist, dass wir zur Definition des Raumes die Paulimatrizen verwendet haben. Um die ganze Geometrie des Raumes zu spiegeln, müssen wir z. B. eine der Paulimatrizen durch ihr Negatives ersetzen. Dann würde aber beim Helizitätsoperator ebenfalls eine der Paulimatrizen in ihr Negatives verwandelt, was die Spiegelung des Raumes gerade wieder aufheben würde. Eine vollständige Spiegelung des Raumes würde mit einer Spiegelung der Paulimatrizen einhergehen. Nach so einer Spiegelung würden wir aber genau die gleichen Teilchen 'linkshändig' nennen.
Welche Teilchen linkshändig sind und welche rechtshändig, ist also in meinem Modell nicht abhängig von der Wahl der Paulimatrizen und auch nicht von der Wahl des Koordinatensystems. Linkshändigkeit ist also eine Teilcheneigenschaft, die objektiv ausgezeichnet ist. Bei Antiteilchen ist die Rechtshändigkeit ausgezeichnet, weil bei diesen die Energie negativ in der Diracgleichung steht.
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