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Wie ist die Welt entstanden?

Wie ist die Welt entstanden?

Philipp Wehrli, 29. Dezember 2009, wird laufend überarbeitet und ergänzt, zuletzt am 15. September 2014

Als ich 9 Jahre alt war, beschloss ich, ich will einmal verstehen, was Raum und Zeit sind. Ich will verstehen, was Materie und was Licht sind. Und ich will die grosse Frage verstehen: Weshalb gibt es eine Welt?

Anfangs wusste ich nicht, wie ich so eine Frage anpacken soll. Aber seit über 35 Jahren habe ich alles gesammelt, was ich zu diesem Thema finden konnte. Und natürlich habe ich mir selber sehr viele Gedanken gemacht.

Viele grosse Physiker schreiben, über diese Fragen wissen wir praktisch nichts. Die grössten Philosophen meinen, diese Frage sei absolut unbeantwortbar. Ich war im Gegenteil sehr erstaunt, wie viel wir wissen. Ich behaupte: Alles, was zur Beantwortung dieser Fragen nötig ist, ist unter Physikern und Mathematikern bereits bekannt und anerkannt. Wir müssen nur die Erkenntnisse in der richtigen Reihenfolge hintereinander schreiben.

Weil ich von verschiedenen Seiten angefragt worden bin, habe ich hier meine Arbeit veröffentlicht, obwohl sie noch nicht ganz abgeschlossen ist. Es handelt sich dabei ausschliesslich um Erkenntnisse, die unter Physikern und Mathematikern bekannt sind. Zumindest unter Fachleuten. Ich habe die Erkenntnisse aber auf eine völlig neue Weise verbunden. Insbesondere gehe ich nicht von der Physik aus, sondern von der Mathematik. Diese Idee erkläre ich im ersten Teil.

 

Inhalt

1. Die philosophische Idee
1.1. Worum geht es hier?

1.2. Das Problem: Wie vermeide ich einen unendlichen Regress?
1.3. Das Wehrli-Universum wird durch null Information definiert
1.4. Wie kann Information definiert werden?
1.5. Welche Eigenschaften muss eine Information sicher besitzen?

2. Die Herleitung der Physik
2.1. Der Einstein Kosmos
2.2. Das Linienelement
2.3. Spezielle Relativitätstheorie
2.4. Bedeutung des Bisherigen und Ausblick
2.5. Mit Fourier-Transformationen zum Energie-Impuls Raum und zur Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation
2.6. E=mc2
2.7. Die Klein-Gordon Gleichung
2.8. Die kräftefreie Dirac Gleichung
2.9. Ein enger Rahmen für die Teilchen
2.10. Hamiltons Prinzip der kleinsten Wirkung
2.11. Das Spin 0 Feld trägt die starke Kraft
2.12. Das Spin 1 Feld trägt die Elektroschwache Kraft und führt zu den Maxwell-Gleichungen
2.13. Die Coulomb-Kraft

3. Gravitation
3.1. Überblick
3.2. Die Hawking-Unruh Temperatur - Teilchen aus dem Nichts
3.3. Temperatur, Wärme und Entropie
3.4. Die Verschränkungs-Entropie bei Horizonten
3.5. Die Plancklänge und die Gravitationskonstante
3.6. Die gekrümmte Raumzeit
3.7. Die Einsteinschen Feldgleichungen
3.8. Vereinigung von Relativitätstheorie und Quantentheorie

4. Ausblick
4.1. Geplante Abschnitte
4.2. Offene Fragen

5. Ergänzende Literatur

 

1. Die philosophische Idee

1.1. Worum geht es hier?

Ende des 20. Jahrhunderts glaubten viele Physiker, die Physik sei praktisch abgeschlossen, es müssten nur noch einige Details geklärt werden. Ich habe nie verstanden, wie die klassischen Physiker auf diesen Gedanken kommen konnten. Die klassische Physik ist ganz offensichtlich nicht abgeschlossen!

Eine abgeschlossene Physik lässt keine Frage offen. Es gibt kein: "Was war vorher?", "Was ist ausserhalb?" oder: "Weshalb ist die Welt so und nicht anders?" Mit diesen Fragen befasst sich die klassische Physik aber überhaupt nicht.

Bei der modernen Physik, insbesondere mit dem Urknallmodell wird das viel besser. Nach dem Urknallmodell gibt es kein Ausserhalb des Universums, weil der Raum in sich gekrümmt ist. Es gibt auch kein Vorher, weil die Zeit mit dem Urknall beginnt. Dies sind Ideen, an denen ich grosse Freude hatte, weil sie etwas erklärten.

Aber auch beim Urknallmodell können wir fragen: Weshalb gab es überhaupt einen Urknall? Wer hat das so gemacht? Weshalb ist die Welt so geworden, wie wir sie sehen? - Meines Wissens hat auch die katholische Kirche das Urknallmodell anerkannt. Der wissenschaftliche Rat des Papstes erklärt aber: Das war eben die Schöpfung! Gott hat den Urknall gemacht!

Stossen die Physiker wie die Religionen tatsächlich an eine Grenze? Können wir nicht mehr, als festzustellen, dass die Welt da ist?
 

1.2. Wie vermeide ich einen unendlichen Regress?

Physiker wollen das Beobachtbare beschreiben und erklären. Die Entstehung der Welt, also der Übergang vom Nichts zum Etwas ist aber nicht beobachtbar. Wir sehen immer nur das Etwas. Die Physiker können daher die Fragen nicht beantworten. Sie versuchen es offiziell noch nicht einmal. Denn diese Frage gehört definitionsgemäss gar nicht zur Physik.

Mein Vorgehen unterscheidet sich daher fundamental von dem der Physiker. Ich gehe nicht von dem aus, was ich beobachte. Sondern ich stelle die Frage: Wie könnte ein abgeschlossenes Weltbild überhaupt aussehen? Ich versuche nicht, die Gesetze der Physik herzuleiten. Sondern ich versuche, ein abstraktes, mathematisches Universum selber zu schaffen. Die einzige Bedingung ist, dass nichts ausserhalb dieses Universums stehen soll. Das Universum soll alle Information in sich enthalten und keine Frage offen lassen.

Ein Beispiel soll zeigen, dass dieses Vorgehen Erfolg verspricht. Betrachten wir die alte Frage, weshalb die Erde nicht hinunter fällt. Alte Mystiker sagten: "Da ist eine Schildkröte, die die Erde trägt."

Aber weshalb fällt die Schildkröte nicht hinunter? - Das ist einfach: Da sind unendlich viele Schildkröten. Jede trägt die über ihr!

Das ist keine befriedigende Antwort. Denn die Schildkröten erklären nichts. Die verschieben nur das Problem. Dieses Vorgehen, ein Problem immer weiter zu verschieben, nennt man unendlichen Regress.

Mein Vorgehen ist völlig anders. Ich frage: Wie müssen wir den Begriff "unten" verstehen, damit kein unendlicher Regress entsteht? Mit dieser Fragestellung kommen wir der Antwort viel näher.

Ich benütze diesen Trick, um die eingangs gestellte Frage zu beantworten: Weshalb ist da eine Welt und nicht Nichts? - Ich frage: Wie müsste die Welt sein, damit diese Frage nicht zu Paradoxien oder zu einem unendlichen Regress führt?

Wie haben wir den unendlichen Regress im obigen Beispiel vermieden? - Die Erde fällt nicht hinunter, weil 'unten' zur Erde gehört. "Unter der Erde" ist nicht definiert! Ebenso kann ich sagen: "Vor dem Universum" ist nicht definiert, weil die Zeit zum Universum gehört. Alles, was über das Universums festgelegt ist, muss im Universum liegen. Denn nach Definition gehört alles, was es gibt, zum Universum. Die Physik ist abgeschlossen, wenn keine Frage und kein Naturgesetz ungeklärt bleibt. Es darf keine Frage mehr geben: "Wieso ist es nicht anders?"

Dies ist nur möglich, wenn die vollständige Beschreibung der Natur null Information enthält. Denn Information bedeutet immer, dass von mehreren Möglichkeiten nur eine verwirklicht ist. Dann könnten wir aber fragen: Weshalb ist gerade diese Möglichkeit verwirklicht und nicht eine andere?

Vielleicht kann die Physik nicht vervollständigt werden. Wenn die Naturgesetze in einigen Punkten willkürlich sind, dann werden wir keinen Grund finden, weshalb sie so sind und nicht anders. Mein Projekt funktioniert nur, wenn das Universum als Ganzes null Information enthält wenn es keine Zufälligkeiten, aber auch keinen Schöpfer gibt, der die Naturgesetze festgelegt hat. Um mit Einstein zu sprechen: Ich nehme an, dass Gott nicht würfelt.

Wenn mein Projekt erfolgreich ist, gibt es nur ein mögliches Universum. Denn wenn zwei solche Universen A und B möglich wären, bliebe die offene Frage, weshalb A realisiert wurde und nicht B. Nach Definition können nicht beide Universen verwirklicht sein, denn das Universum ist alles, was ist. Wenn ein Universum aus mehreren voneinander getrennten Gebieten besteht, nenne ich diese Gebiete Welten. Nach der Viele Welten Interpretation besteht das Universum aus sehr vielen Welten.

Ich suche also nach einem Universum, das keine Willkür enthält. Ich suche ein System von Naturgesetzen, das keine Frage offen lässt. Das wird ein mathematisches Modell eines Universums sein. Um es vom realen Universum der Physik zu unterscheiden, nenne ich es das ‘Wehrli-Universum’.

Wie gesagt, kann es höchstens ein Wehrli-Universum geben. Vielleicht gibt es gar kein solches System. Das würde bedeuten, dass die Physik nicht vollständig sein kann. Dann würden immer offene Fragen bleiben und wir könnten sagen, die Antwort auf diese offene Fragen ist Gott.

Mein Projekt hat gegenüber der Physik einen grossen Vorteil: Der Plan ist unglaublich einfach. Denn weil es nur ein Universum mit einer vollständigen Physik geben kann, muss ich nur dieses eine Universum finden. Dies ist viel einfacher als z. B. die Situation in der Stringtheorie, in der viele Konstanten willkürlich gewählt werden können, so dass die Stringtheoretiker einen unüberblickbaren Haufen verschiedener Theorien nach der richtigen durchsuchen müssen.
 

1.3. Das Wehrli-Universum wird durch null Information definiert

Ich will also ein Universum beschreiben, das null Information enthält. Was ist Information? - Information kann auf verschiedene Weise definiert werden. Aber alle Definitionen beruhen letztlich darauf, dass von mehreren Möglichkeiten eine oder mehrere, aber nicht alle, gewählt werden. Was bedeutet nun null Information?

Man könnte nun denken, ein leerer Raum enthalte keine Information. Dies ist aber nicht korrekt. Denn wenn ich z. B. in meinen Kühlschrank blicke und sehe, dass er leer ist, dann gibt mir dies ziemlich viel Information. Von den Möglichkeiten 'voller Kühlschrank' und 'leerer Kühlschrank' wurde die eine Möglichkeit ausgewählt und diese Wahl enthält Information. Keine Information bedeutet, ich habe keine Ahnung, ob der Kühlschrank voll oder leer ist oder in irgendeiner Weise teilweise gefüllt.

Im Rahmen der Urtheorie hat Dirk Graudenz das logische Vakuum als einen Zustand definiert, der keine Ure, also keine Information enthält (Lyr 1). Damit dieser Zustand definiert werden kann, muss aber ziemlich viel Information a priori vorgegeben sein. Das Qubit bei Graudenz unterscheidet ein Universum, in dem das Zeichen 0 gesendet wurde, von einem Universum, in dem das Zeichen 1 gesendet wurde. Es braucht unzählige zusätzliche Qubit, die den ganzen Rahmen des Universums festlegen. Diese Qubits werden in der Definition überhaupt nicht berücksichtigt. Die Definition von Graudenz entspricht etwa der Situation eines Empfängers, der vor seinem Morseapparat sitzt und weiss, dass eine Nachricht zwischen 12.00 und 12.05 Uhr gesendet wird. Wenn in dieser Zeit kein Zeichen gesendet wird, hat er null Bit Information erhalten. Um die ganze Situation festzulegen, ist aber sehr viel Information nötig. Das ist nicht, was ich mit ‘null Information’ meine.

Ich will auf einer viel elementareren Ebene beginnen. Nach meiner gibt es sehr viele Möglichkeiten, wie die Welt sein kann. Ein Qubit unterscheidet zwei Klassen von Welten. Beide Klassen zusammen enthalten alle möglichen Welten. Die Menge aller möglichen Welten bildet das Wehrli-Universum. Weil hier alle Möglichkeiten gleichermassen vertreten sind, enthält es null Information. Null Information bedeutet, dass keine einzige Möglichkeit entschieden ist.

Diese Sichtweise erscheint zunächst ungewohnt. Es handelt sich aber genau um die Sichtweise der Quantentheorie. Wenn wir nichts über ein Teilchen wissen, beschreiben wir es als Überlagerung aller Zustände. Dies wird auch in meiner Beschreibung des Universums so sein: Weil das Universum keine Information enthält, ist es eine Überlagerung aller möglichen Zustände. Genau so, wie es von der Viele Welten Interpretation beschrieben wird.

Wir kennen eine analoge Situation aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wenn jemand einige Karten aus einem Kartenset zieht, benötige ich eine bestimmte Anzahl Bit, um genau zu beschreiben, welche Karten er gezogen hat. Wenn er eine Karte aus einem Set von 32 Karten gezogen hat, benötige ich 5 Bit um festzulegen, welche es war. Wenn jemand aber null Karten zieht, benötige ich keine Information, um dies zu beschreiben, also 0 Bit Information (vorausgesetzt, es ist bekannt, dass er null Karten gezogen hat). Wenn jemand alle Karten zieht, benötige ich auch keine Information, um dies zu beschreiben.

Das Universum mit null Information entspricht etwa der “Bibliothek von Babel”, die Jorge Luis Borges im gleichnamigen Buch beschreibt. Die 1941 veröffentlichte Erzählung ist eine Spekulation über eine mögliche Welt, welche als eine Bibliothek aller möglichen Bücher dargestellt ist. Die Bibliothek enthält alle Kombinationen der 26 Buchstaben und Zeichen und auch alle Texte aller auf diesem Alphabet basierenden Sprachen. Darüber hinaus enthält die Bibliothek unzählige völlig sinnlose Aneinanderreihungen von Texten. Die Bibliothek besitzt also z. B. Goethes Faust im Originalwortlaut. Sie besitzt aber auch ein Buch, das Goethes Faust exakt gleicht, das aber statt mit Gretchens letztem Ausruf: "Heinrich! Heinrich!" mit "Hans-Martin!" aufhört. Jede beliebige Variante des Faust bis zur völligen Entstellung ist in der Bibliothek vorhanden.

Was muss ich angeben, um ein ganz bestimmtes Buch auszuleihen? Ich muss das Buch vom ersten bis zum letzten Buchstaben exakt niederschreiben, so wie ich es haben will! Denn wenn ich nur ein Detail offen lasse, so gibt es eine ganze Reihe von Büchern, die auf meine Bestellung zutreffen. Eine Bibliothek, die alle möglichen Bücher enthält, enthält null Information. Genau dies meine ich, wenn ich von ‘null Information’ rede.
 

1.4. Ist es überhaupt möglich, ‘null Information’ zu definieren?

Eine der grössten Gefahren bei meinem Projekt ist wohl, dass ich in meine Definition des Begriffs ‚Information‘ schon so viel Wissen und Vorurteile über die Welt einfliessen lasse, dass es nicht erstaunlich ist, wenn ich daraus alle bekannten Naturgesetze herleiten kann. Alles, was ich hier schreibe, schreibe ich in menschlicher Sprache. Jedes Wort der menschlichen Sprache enthält Information. Deshalb werde ich mit Sicherheit Information verwenden, wenn ich ‚null Information‘ definiere. Kann ich dann überhaupt noch behaupten, ich hätte null Information vorausgesetzt?

Sicher benötige ich Information, um den Begriff ‚null Information‘ zu verstehen und zu erklären. Wir müssen aber klar unterscheiden zwischen der Information, die ich über die Welt voraussetze (diese soll null sein) und der Information, die ich benötige, um meine Überlegungen anderen Menschen verständlich zu machen (diese wird nicht null sein).

Dennoch müssen wir uns dieser Gefahr in aller Schärfe bewusst sein, wenn ich im Folgenden den Begriff ‚Information‘ definiere. Fragen Sie sich bei jeder nun folgenden Definition: Wo verbirgt sich darin mein Wissen über die Maxwell-Gleichungen? Über die Relativitätstheorie? Über die Teilchen- und Quantenphysik? Ist es wirklich so, dass mich das Wissen um die Gesetze der Physik auf diese Definitionen gebracht haben? Erwarten Sie bei den folgenden Definitionen tatsächlich, dass daraus die Gesetze der Physik folgen? Wäre es tatsächlich ebenso leicht, einen Informationsbegriff zu schaffen, aus dem z. B. die Newtonsche Physik folgt?
 

1.5. Welche Eigenschaften muss eine ‚Information‘ sicher besitzen?

Wertvolle Anregungen zu diesem Abschnitt fand ich bei Finkelstein (Fin 1), Rovelli (externer Link), Görnitz (externer Link) und Lyre (Lyr1).

Information kann immer dazu verwendet werden, Ja/Nein Fragen zu beantworten. Damit ist nicht gesagt, dass sich jede Art von Information auf Ja/Nein Fragen beschränke. Um z. B. eine Farbe, also eine bestimmte Wellenlänge, absolut exakt zu definieren, würde ich –zumindest nach der klassischen Physik- unendlich viele Ja/Nein-Fragen brauchen. Denn nach der klassischen Physik gibt es ein kontinuierliches Spektrum unendlich vieler verschiedener Wellenlängen. Möglicherweise reichen also Ja/Nein Fragen nicht aus, um die Welt vollständig zu beschreiben. Umgekehrt können wir aber durchaus einige Ja/Nein Fragen beantworten, wenn wir z. B.  die Farbe Rot sehen.

Üblicherweise wird ein Ja durch eine 1 und ein Nein durch eine 0 codiert. Ja und Nein schliessen sich aus. Mathematiker sagen: Sie stehen orthogonal zueinander. Wir können daher Ja und Nein als zweiwertige Vektoren darstellen. Dabei ist Ja = (1, 0) und Nein =(0, 1).

Natürlich kann es geschehen, dass eine Frage ungeschickt gestellt ist, so dass eine Entscheidung zwischen 0 und 1 nicht eindeutig möglich ist. Dann geben wir die Antwort durch eine Wahrscheinlichkeit an, also durch eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Wir schreiben dann p(ja)=p für die Wahrscheinlichkeit, dass die Antwort ‚Ja‘ ist und p(nein)=p-1 für die Wahrscheinlichkeit für ein ‚Nein‘. Offensichtlich gilt immer p(ja)+p(nein)=1. Denn dies bedeutet einfach, dass irgend eine Antwort gegeben werden muss. Auch hier muss betont werden, dass dies die Logik unserer Sprache und unseres Denkens ist. Ich behaupte keineswegs, dass wir damit der Natur immer gerecht werden. Der Teil der Natur, den wir mit unseren Sinnen erfassen und über den wir nachdenken können, dieser Teil wird von uns immer auf diese Weise beschrieben.

Wenn wir auch die Wahrscheinlichkeiten in der Vektorschreibweise ausdrücken wollen, muss doch immer die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergeben:
p(ja) + p(nein) = 1
Dann wird im Vektor aber nicht die Wahrscheinlichkeit stehen. Denn für die Addition von Vektoren, die orthogonal aufeinander stehen, gilt der Satz von Pythagoras. Wenn also ein Vektor (a, b) die Länge 1 haben soll, so gilt für seine Einträge:
a2 + b2 = 1

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt dann:
p(ja) =: a2
p(nein) =: b2
Die Vektoreinträge a und b nennt man Amplituden. In der Ur-Theorie nach C. F. von Weizsäcker werden diese komplexen Zahlen ‘Ure’ genannt. Ein Vektor bestehend aus zwei Uren ist eine Uralternative. Sie beschreibt die Information, mit der eine zweiwertige Frage beantwortet werden kann.

Wahrscheinlichkeiten als Vektoren zu beschreiben, sieht zwar ungewohnt aus. Aber ich habe dabei nichts Neues vorausgesetzt. Es handelt sich einfach um eine ungewohnte Darstellung der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nun kommt aber eine neuartige Überlegung. Die Ja/Nein Antworten hängen offensichtlich von den gestellten Fragen und von der Definition von ‚Ja‘ und ‚Nein‘ ab. Wir könnten uns z. B. eine Sprache vorstellen, in der ‚Ja‘ das bedeutet, was wir ‚Nein‘ nennen, und umgekehrt.

Ich frage mich deshalb, in welcher Weise die Sprache und die Definitionen verändert werden können, so dass die Aussagen immer noch sinnvoll bleiben. ‚Sinnvoll‘ kann sich dabei nicht auf menschliche Logik beziehen. Vielmehr ist gemeint: In welcher Art können die Amplituden a und b transformiert werden, so dass sich immer noch Wahrscheinlichkeiten ergeben mit a2 + b2 = 1?

Ausserdem sollen zwei Transformationen zusammengehängt werden können und wieder eine Transformation ergeben. Dabei darf keine Information verloren gehen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass die eine oder die andere Antwort passt, bleibt immer 1. Es muss also zu jeder Transformation ein Inverses geben, das die Transformation wieder rückgängig macht. Wenn wir ausserdem annehmen, dass die Abbildungen stetig sind, können wir die Transformationen in erster Näherung als lineare Funktionen ansehen. Die allgemeinsten linearen zweiwertigen Funktionen, die die obigen Bedingungen erfüllt, bilden die Gruppe SU(2), die Gruppe der komplexwertigen, unitären Matrizen, mit Determinante 1. Dies ist gerade die Transformationsgruppe der Qubits. Diese Gruppe erweist sich als Grundelement der gesamten Physik.

Manche der obigen Annahmen scheinen willkürlich. Wie gesagt besteht der Kern der obigen Darstellung in einer etwas seltsamen Schreibweise der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Aber in der Gruppe SU(2) sind Transformationen erlaubt, die es in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie nicht gibt. Insbesondere gilt:

Wenn es Zustände (1, 0) und (0, 1) gibt, also eine Frage, die ein sicheres Ja oder ein sicheres Nein zur Antwort haben kann, dann gibt es auch eine Überlagerung dieser Zustände. Es gibt dann also auch eine Frage, die weder ein sicheres Ja, noch ein sicheres Nein zur Antwort hat.

Die zweite Willkür besteht in der Annahme, die Abbildungen müssen linear sein. Meiner Ansicht nach, gilt dies auch nur als Näherung. Jede stetige Funktion lässt sich durch eine lineare Funktion annähern. Insofern stimmt die Annahme wohl als erste Näherung. Für eine genauere Beschreibung müssen diese Abbildungen wohl durch Zusatzterme ergänzt werden. In Abschnitt 3.5. werden wir sehen, dass diese Zusatzterme zu einer Krümmung der Raumzeit führt, die genau die Eigenschaften hat, die in den Einsteinschen Feldgleichungen beschrieben werden.

Die obige Herleitung der Informationstheorie ist also eine Näherung. Eine Präzisierung wird zu einer präziseren Beschreibung der Welt führen.

Die Idee, die gesamte Physik auf Qubits aufzubauen, stammt von Carl Friedrich von Weizsäcker, der dies unter dem Begriff 'Urtheorie' untersuchte (Wei 2). Nach seinem Vorschlag nenne ich die Qubits ‘Ure’. Dass die Welt aus Information aufgebaut ist oder zumindest von elementaren Informationsatomen repräsentiert wird, finden verschiedene Physiker plausibel. Sie kürzen dies ab als: "It from bit" oder "It from qubit".
 

2. Die Herleitung der Physik

Die folgenden Herleitungen findet man alle so oder ähnlich in Physikbüchern. Falls hier Fehler auftauchen, so stammen sie von mir. Man wird aber in den zitierten Büchern eine korrekte Darstellung finden.

Die Herleitungen sind zwangsläufig sehr technisch und abstrakt. Ich will ja die Formeln der Physik herleiten und die Sprache der Physik ist nun mal die Mathematik. Ich will niemanden dazu überreden, die folgenden Argumente zu glauben. Jeder soll hier die Möglichkeit haben, die Herleitungen selber zu überprüfen. Wer sie wirklich verstehen will, muss sich auch mit der verwendeten Mathematik befassen.

Es macht wohl Sinn, sich zuerst einen Gesamtüberblick über mein Vorgehen zu verschaffen. Deshalb habe ich die Abschnitte sehr kurz gefasst. In den Titeln ist jeweils zu lesen, was ich herleite. Der Abschnitt darunter erklärt schlagwortartig, woraus ich dies herleite. Physiker sind mit diesen Ableitungen wohl oft schon vertraut und brauchen keine weitere Information dazu. Für interessierte Laien werde ich in den Anhängen die Argumente mit allen mathematischen Details vorrechnen. Solange diese Anhänge noch nicht fertig ausgearbeitet sind, muss man sich mit der zitierten Literatur behelfen.


2.1. Der Einstein Kosmos

Die kleinste Informationseinheit ist also das Qubit, ein Vektor bestehend aus zwei komplexen Zahlen mit der Länge 1. (Die Länge eines Vektors u = (u1, u2) ist definiert als <u|u> = u1* u1 + u2* u2, wobei u1* das komplex konjugierte von u1 ist.) Nach C. F. von Weizsäcker nenne ich diese elementare Informationseinheit eine Ur-Alternative (Wei 2). Die einzelne komplexe Zahl, die Amplitude des Quantenzustands, nenne ich ein Ur.

Bei dieser Definition ist unschön, dass die Beschreibung der Ure von der Wahl des Koordinatensystems abhängt. Man könnte sich fragen, in welcher Weise die Koordinaten transformiert werden dürfen, ohne dass die Struktur des Raums der Ure verloren geht. Insbesondere soll der absolute Wert der Skalarprodukte erhalten bleiben. Die Menge der Transformationen, die dies erfüllen, nennt man die Symmetriegruppe der Qubits. Diese Symmetriegruppe enthält die Gruppe SU(2) x U(1). Diese Gruppe ist mathematisch äquivalent zum Einstein Kosmos.

Die Gruppe SU(2) beschreibt den dreidimensionalen gekrümmten Raum des Universums. Das sieht man so: Die Gruppe SU(2) ist die Gruppe der komplexwertigen unitären Matrizen mit Determinante 1. Jede Matrix aus SU(2) kann als Linearkombination der Paulimatizen und der Einheitsmatrix geschrieben werden:
M = a1 - bsx - csy - dsz

Mit den Pauli-Matrizen:

a, b, c und d sind reelle Zahlen. Zusätzlich muss aber die Determinante von M = 1 sein, also:
Det M = a2 + b2 + c2 + d2 = 1
Diese Gleichung ist aber gerade die Bedingung für eine S3, also eine Einheitssphäre des R4, eine Kugeloberfläche im vierdimensionalen Raum mit Radius 1. Die SU(2) ist also äquivalent zum Ortsanteil des Einstein Kosmos, also zum Universum der allgemeinen Relativitätstheorie, wie Einstein es beschrieb (Lyr 1).

Die U(1) ist die sogenannte Kreisgruppe, mit der Drehungen beschrieben werden. Sie ist periodisch, also eine volle Drehung ist das Gleiche wie keine Drehung. Für eine Kombination vieler Ure muss U(1) ersetzt werden durch den positiven reellen Zahlenstrahl R+ (externer Link Thomas Görnitz). Sie kann dann als Zeit interpretiert werden.

Eine Ur-Alternative kann also in verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben werden, so wie wir zur Beschreibung einer geometrischen Figur verschiedene Koordinatensysteme verwenden können. Die Menge dieser verschiedenen erlaubten Koordinatensysteme hat die gleiche Struktur wie das Universum, so wie es Einstein beschrieb. Das ist zumindest mal ein lustiger Zufall.


2.2. Das Linienelement

Zu den Ur-Alternativen erhalten wir also eine Art Raum, indem wir die Ur-Alternativen in verschiedenen Koordinatensystemen beschreiben können. Dabei wollen wir natürlich, dass sich an den Ur-Alternativen nichts Wesentliches ändert. Nun beschreiben wir die Transformationen von Ur-Alternativen mit Matrizen. Wenn wir sagen, es soll sich bei den Transformationen nichts Wesentliches ändern, dürfen sich sicher die Determinanten dieser Matrizen nicht ändern.

Es sei z. B. T Matrix aus SU(2). Wie erwähnt, kann T als Linearkombination der Pauli-Matrizen und der Einheitsmatrix geschrieben werden:
T = t1 + xsx + ysy + zsz

Die Determinante dieser Matrix ist dann:
det(T) = (dt2 - dx2 - dy2 - dz2)

Dies ist gerade das Quadrat des Linienelements ds aus der Relativitätstheorie! Das Linienelement ist der Abstand in der 3+1 dimensionalen Raumzeit. Wenn wir die Ur-Alternativen transformieren, erwarten wir also, dass die Determinanten nicht ändern. Genau so, wie wir bei Koordinatentransformationen in der Raumzeit erwarten, dass das Linienelement erhalten bleibt. Da ist es bemerkenswert, dass die Wurzel der Determinante genau gleich aussieht, wie das Linienelement. Diesen Zusammenhang werde ich im nächsten Abschnitt näher durchleuchten.


2.3. Spezielle Relativitätstheorie

Im folgenden werde ich zeigen, dass der Raum der Ur-Alternativen auch alle anderen Eigenschaften unserer 3+1 dimensionale Raumzeit hat. Insbesondere gilt die spezielle Relativitätstheorie. Wir werden ihn später als Raumzeit interpretieren.

Ich möchte also eine von den Koordinaten unabhängige Beschreibung haben. So wie bei Transformationen in der Raumzeit das Linienelement bleibt, sollen auch die Determinanten bei den Transformationen im Raum der Ur-Alternativen erhalten bleiben.

Die Determinante bleibt unverändert, wenn ich eine Matrix mit einer Matrix M mit Determinante 1 multipliziere, also M ist Element von SL(2, C). Bemerkenswerterweise kann jeder Matrix M aus SL(2, C) in eindeutiger Weise eine Lorentztransformation zugeordnet werden. Und die Lorentztransformationen sind gerade diejenigen Transformationen, die in Einsteins relativistischer Raumzeit das Linienelement unverändert lassen.

Das bedeutet, der Raum der Ur-Alternativen ist relativistisch! Es gelten die Gesetze der speziellen Relativitätstheorie, insbesondere die Zeitdilatation und Längenkontraktion.

Die Durchführung dieser Transformationen ist ziemlich knifflig. Dies liegt daran, dass in der Relativitätstheorie Geschwindigkeiten nicht ganz unbekümmert addiert werden können, so wie auch Drehungen nicht ohne Weiteres addiert werden können, wenn sie um verschiedene Achsen gehen. Denn es kommt auf die Reihenfolge der Transformationen an.

Abbildung 1. Wenn ich einen Würfel hintereinander um verschiedene Achsen drehe, kommt es auf die Reihenfolge an. Wenn ich einen Würfel zuerst um die x-Achse um 90° drehe und dann um die y-Achse um 90°, ist das Resultat ein anderes, als wenn ich ihn zuerst um die y-Achse um 90° und dann um die x-Achse um 90° drehe.

Mathematiker sagen: Die Drehgruppe ist nicht abelsch. Die Lorentz-Gruppe und die SL(2, C) sind ebenfalls nichtabelsche Gruppen. Wie mit solchen Gruppen umgegangen werden muss, wird in der Theorie der Lie-Algebren behandelt.

Wir brauchen die Details dieser Theorie im folgenden nicht. Der entscheidende Punkt ist, dass sich die ‘Raumzeit’ der Ur-Alternativen eins zu eins in die bekannte Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie umrechnen lässt. Wie dies funktioniert, zeige ich in Anhang 3. Wenn die Rechnung dort kompliziert aussieht, dann liegt dies also nicht daran, dass ich etwas Heikles da reingeschmuggelt habe. Sondern es liegt ganz einfach daran, dass das Rechnen mit Drehungen unanschaulich ist. Für das weitere Verständnis wird diese Mathematik nicht benötigt.

Uns reicht es zu wissen, dass der Raum der Ur-Alternativen äquivalent ist zur bekannten 3+1 dimensionalen Raumzeit mit den Lorentz-Transformationen.


2.4. Bedeutung des Bisherigen und Ausblick

Was ich bis hierhin erklärt habe, ist ganz lustig, aber keineswegs umwerfend. In der Mathematik werden viele Dinge mit Koordinatensystemen dargestellt. Es ist nicht erstaunlich, dass dies auch mit ‘Information’ möglich ist. Dass dazu gerade ein Koordinatensystem gebraucht wird, das den gleichen Aufbau hat wie unsere bekannte Raumzeit, scheint ein lustiges Zusammentreffen zu sein. Bis hierhin gibt es aber keinen Grund, dahinter eine grosse Erkenntnis zu sehen. Die ‘Informationen’ bewegen sich nicht durch das abstrakte Koordinatensystem. Zwar nenne ich eine Koordinate suggestiv die ‘Zeitkoordinate’. Aber sie ist nichts weiter als eine Zahl!

Die in den folgenden Kapiteln aufgezeigten Zusammenhänge können aber zweifellos als die tiefgründigsten und überraschendsten Erkenntnisse der Physik bezeichnet werden. Wie Eugene Wigner, Carl Friedrich von Weizsäcker und andere zeigten, sind nämlich im Begriff der Information bereits alle Gesetze der Physik enthalten. Diese Dinger, die wir Information genannt haben, bewegen sich tatsächlich durch das abstrakte Koordinatensystem! Und zwar genau nach den Gesetzen der bekannten Physik! Als Informationsklumpen können sie nicht jedes beliebige Objekt darstellen, sondern nur gerade in sehr engem Rahmen diejenigen Teilchen, die wir aus der Teilchenphysik kennen. Sie gehorchen der Relativitäts- und der Quantentheorie.

Wenn ein Gott sagte: “Ich will die Welt so machen, dass sie mit Information beschreibbar ist”, dann hatte er praktisch keinen Spielraum mehr, sie anders zu gestalten, als wir sie vorfinden. Moderne Physiker bringen dies unter die Formel ‘it from bit’ oder ‘it from qubit’.

Weshalb wird dieses überragende Resultat der theoretischen Physik so selten erwähnt? - Wir finden es leider verschleiert hinter einem Berg sehr abstrakter Mathematik. Irgendwo habe ich mal gelesen, dass jede Formel in einem Text die Anzahl der Leser halbiert. Wenn Sie das Folgende überblicken, stellen Sie unschwer fest, dass ich mein einziger Leser bin. Das ist wohl der Grund, weshalb diese erstaunlichste und erschütterndste Erkenntnis der Physik in der Öffentlichkeit nur so selten mal am Rande erwähnt, aber kaum je gründlich diskutiert wird.

Die Mathematik kann aber auch nicht weggelassen werden. Denn es geht ja gerade darum zu zeigen, dass aus dem abstrakten Begriff der Information genau die Gesetze der Physik folgen. Es reicht nicht zu behaupten, dass es da irgendwie so etwas wie Wellen gibt, die irgendwo quantenhaft durch den Raum wabbeln. Im Begriff der Information stecken genau die Gesetze der Physik und nicht irgendwelche anderen Formeln.

Sehr eindrücklich habe ich dies festgestellt, als ich versuchte, die Schrödinger-Gleichung herzuleiten. Die Schrödinger-Gleichung lernt man beim Einstieg in die Quantentheorie. Sie ist eine verhältnismässig leicht verständliche, anschauliche Gleichung, mit der die Bewegungen der Teilchen mittels Wellen beschrieben werden. Trotz längerem angestrengtem Versuchen, gelang es mir nicht, diese grundlegende Gleichung aus der Theorie der Information herzuleiten. Schliesslich merkte ich aber, dass die viel schwierigere und abstraktere Dirac-Gleichung unmittelbar aus der Theorie der Information folgt. Die Dirac-Gleichung ist die relativistisch exakte Beschreibung der Teilchenbewegungen, während die Schrödinger-Gleichung nur eine Näherung davon ist.

Es ist also keineswegs so, dass ich einfach mit viel mathematischer Formelbeigerei jedes gewünschte Resultat aus meiner Überlegung heraus ziehe. Im Gegenteil! Die spannendsten Resultate sind gerade die, die zeigen, welche Dinge nicht in der Theorie vorkommen.

Ich werde deshalb die Herleitungen in ganzer Länge hier aufschreiben. Andererseits müssen Sie auch nicht jede Formel verstehen, um die Kraft des Gesamtbildes zu sehen. Wenn Sie sich nicht mit Formeln herumschlagen wollen, überfliegen Sie sie einfach und behalten Sie im Hinterkopf, dass alle diese Formeln alleine dadurch festgelegt sind, dass das Universum mit Information beschreibbar ist.

Wenn der liebe Gott das Universum anders hätte schaffen wollen, hätte er schwer arbeiten müssen. Ja, ich denke, so tief reichen die folgenden Überlegungen. Und wenn Sie das Folgende lesen und davon nicht erschüttert sind, dann haben Sie es noch nicht verstanden.


2.5. Mit Fourier-Transformationen zum Energie-Impuls Raum und zur Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation

Ich habe gezeigt, dass die Transformationsgruppe der Ur-Alternativen in erster Näherung äquivalent ist zur Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie. Jede Matrix aus SL(2,C) beschreibt einerseits, wie eine Ur-Alternative in eine andere transformiert wird und andererseits beschreibt sie eine Lorentztransformation in der Raumzeit.

Als erste Näherung haben wir angenommen, die Uralternativen würden linear transformiert. Diese Annahme ist sinnvoll, weil jede stetige Funktion durch eine lineare angenähert werden kann. Werden aber auch nichtlineare Transformationen zugelassen, so müssten wir in jedem Punkt der Raumzeit einen metrischen Tensor einführen, der die Krümmung und Verzerrung der Raumzeit beschreibt, bzw. die Abweichung von der Linearität definiert.

Der Einfachheit halber beginne ich nicht mit Tensoren, sondern mit komplexen Zahlen. Dabei werden wir schon sehr viele Naturgesetze finden, ohne allzu komplizierte Mathematik zu benötigen. Die Tensoren werden erst in Kapitel 3 bei der Gravitation zwingend nötig. Stellen wir uns also vor, jedem Punkt der Raumzeit sei eine komplexe Zahl zugeordnet.

Jede solche komplexwertige Funktion über der Raumzeit kann noch auf eine andere Art dargestellt werden. Und zwar als Überlagerung von Wellen. Jean-Baptiste-Joseph Fourier hat nämlich gezeigt, wie wir solche Funktionen mittels einer sogenannten Fourier-Transformation als Überlagerung harmonischer Wellen in der Raumzeit schreiben können. Wenn nur an wenigen, bestimmten Orten eine komplexe Zahl ungleich null steht, heben sich die Wellen an den meisten Orten gegenseitig auf. An den Orten, an denen ein Ur steht, würden sie aber den entsprechenden Wert ergeben.

Das funktioniert bei jeder komplexwertigen Funktion. Es ist zunächst einfach ein mathematischer Trick. Jede Funktion kann auch als Überlagerung von Wellen geschrieben werden. Statt in einem Ortraum können wir dann die Wellenlängen und die Phasen, also den ‘Startpunkt’ der Wellen, in einem Raum der Wellenlängen angeben.

Wenn wir aber die Wellen betrachten, so können wir die Frequenzen dieser Wellen als Energie und die Wellenlängen als Impuls interpretieren. So erhalten wir Wellenpakete. Wir haben dann nicht mehr nur die Raumzeit, sondern auch noch einen Energie-Impuls-Raum. Wir haben dabei keine Information hinzugefügt, sondern wir beschreiben zweimal das Gleiche auf unterschiedliche Weise.

Eine harmonische Welle, die eine ganz bestimmte Energie beschreibt, ist ein unendlich langer Wellenzug, der durch die ganze Raumzeit geht. In der Natur gibt es dies natürlich nicht. In der Natur sind die Dinge lokalisiert. Diese Zustände werden durch eine Überlagerung unzähliger harmonischer Wellen unterschiedlicher Energien dargestellt. Um ein Ur absolut exakt zu lokalisieren, benötige ich Wellen jeder nur denkbarer Frequenz und Wellenlänge. Die Energie und der Impuls sind dann völlig unbestimmt.

Was ich hier beschrieben habe, ist reine Mathematik. Da ist keine Annahme über die Physik enthalten. Ich kann die Ure in der Raumzeit auf diese zwei verschiedenen Arten darstellen, so wie ich einen Text mit Arial oder mit Courier schreiben kann.

Das Bemerkenswerte ist aber, dass die so beschriebenen Wellenpakete durch die Raumzeit zu wandern scheinen. Da die harmonischen Wellen quer durch die ganze Raumzeit ziehen, verschwindet ein Wellenbuckel nicht plötzlich, sondern er scheint über die Zeit erhalten zu bleiben. Dabei können die Wellenlängen mit den bekannten Lorentztransformationen von einem Inertialsystem in das andere umgerechnet werden.

Das zweite Bemerkenswerte ist, dass für diese Wellenpakete die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation gilt: Je genauer der Aufenthaltsort bestimmt wird, desto mehr harmonische Wellen verschiedener Wellenlänge muss ich überlagern. Damit wird aber gleichzeitig der Impuls unbestimmt.

Im Rest dieses Abschnitts werde ich diese Behauptungen mathematisch nachweisen. Sie gelten nicht irgendwie ein bisschen gefühlsmässig, sondern absolut exakt. Ich leite genau die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation her. Nicht irgendwie ungefähr.

Betrachten wir eine stetige Abbildung, die jedem Punkt der Raumzeit eine komplexe Zahl zuordnet. Wir haben also stetige komplexwertige Funktionen Y(t, x, y, z) über der Raumzeit. Eine Funktion Y(t, x, y, z) kann mittels Fouriertransformation in eine Funktion Y'(f, lx, ly, lz) umgewandelt werden. Das heisst, die Funktion Y(t, x, y, z) wird dargestellt als Überlagerung unendlich vieler harmonischer Wellen der Frequenz f und den Wellenlängen in den drei Raumrichtungen lx, ly und lz. Dabei erhalten wir eine neue Funktion, die geschrieben werden kann als Y'(f, lx, ly, lz) = Y'(E/h, px/h, py/h, pz/h), also als Funktion in einem dadurch neu definierten Energie-Impulsraum.

Die Energie E und die Impulse px, py und pz dieser Wellen sind definiert als:

E = hf, pz = hlx, py = hly, pz = hlz

h ist die Konstante, mit der die Einheiten der Raumzeit in die Einheiten des Energie-Impulsraums umrechnet werden, also die Plancksche Konstante.

Mit der Fouriertransformation kann jede der Funktionen über dem Aussagenraum in harmonische Wellen zerlegt werden, also in Sinus- und Cosinusfunktionen oder in komplexwertige Exponentialfunktionen. Ein Element dieser Zerlegung hat die Form:

y(t, x, y, z) = A exp[i(-wt + x2p/l + y2p/l + z2p/l)]

= A' exp[2pi/h(-Et + pxx + pyy + pzz)]

Dabei ist A = A(w, lx, ly, lz) = A'(E, px, py, pz) eine stetige reellwertige Funktion über dem Energie-Impuls Raum. Vorerst wollen wir voraussetzen, dass A' unabhängig von t, x, y und z sei. Physikalisch bedeutet dies, dass wir nur kräftefreie Teilchen betrachten.

Man beachte noch einmal, dass diese Fouriertransformation nur im flachen Raum möglich ist. Die obigen Überlegungen gelten daher nur lokal in erster Näherung, solange die Raumzeit als flach angesehen werden kann. Im gekrümmten Raum können Energie und Impuls nicht global definiert werden. Zumindest erfordert eine konsistente Definition dort wesentlich subtilere Betrachtungen. Dies ist aus der allgemeinen Relativitätstheorie bekannt. Für den lokalen Beobachter sind ‘Energie’ und ‘Impuls’ aber durchaus sinnvolle Begriffe.

Was haben wir erreicht?

Die Wellenpaketen in der Raumzeit können wir nun mit einer zweiten äquivalenten Darstellungen beschreiben, nämlich als Wellenpakete über dem Energie-Impulsraum. Durch die Fouriertransformation sind die beiden Darstellungen miteinander verbunden. In beiden Darstellungen wird die Funktion in Wellen zerlegt, und man kann zeigen, dass diese Wellenpakete der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation gehorchen (siehe dazu den Artikel Unbestimmtheitsrelation).

Ich habe mir lange überlegt, ob ich den Raum der Ur-Alternativen nicht mit dem Energie-Impulsraum identifizieren soll. Eine erste Fassung dieses Textes war sogar so geschrieben und man findet diesen Ansatz auch bei C. F. von Weizsäcker (Wei 2), Holger Lyre (Lyr 1) und anderen Autoren, die sich mit der Urtheorie befassen. Man beachte aber, dass die Darstellung in der Raumzeit nicht exakt auf den Energie-Impulsraum  übertragen werden kann. In der Raumzeit gilt die Lokalität, also ein Ereignis wird nur von den Dingen in seiner unmittelbaren Umgebung beeinflusst. Auch scheinbar nichtlokale Effekte wie das EPR-Experiment werden von der Quantentheorie völlig lokal beschrieben.

Es ist naheliegend, im Raum der Informationen Lokalität zu fordern. Deshalb scheint es mir sinnvoll, diesen mit der Raumzeit zu identifizieren und nicht mit dem Energie-Impulsraum.
 

2.6. E=mc2

In den Abschnitten 2.1. bis 2.3. habe ich gezeigt, dass die Menge der Matrizen aus SL(2) äquivalent die den Verschiebungen in der Raumzeit sind. Auf die gleiche Weise können auch jedem Energie-Impulsvektor (E, px, py, pz) eineindeutig eine hermitesche Matrix zuordnen:
 


Hier sind die sk die Paulimatrizen und 1 die Einheitsmatrix. Hermitesch bedeutet, dass die Matrix als Linearkombination mit der Paulimatrizen und der Einheitsmatrix aufgebaut werden kann. Bei einer Lorentztransformation bleibt die Determinante dieser Matrix unverändert:

det P = E2 - c2px2 - c2py2 - c2pz2

Ich definiere die Ruhemasse m durch:

m2 := det P : c4 = (E2 - c2px2 - c2py2 - c2pz2) : c4

Die Ruhemasse m bleibt bei Lorentztransformationen unverändert, und das ist es, was sie so wichtig macht. Übrigens ist dies Einsteins berühmte Gleichung:

E2 - c2px2 - c2py2 - c2pz2 = m2c4

Einstein interessierte sich für die Energie im Ruhesystem, er hat also den Impuls null gesetzt. Das ergibt zwei Lösungen:

E = + mc2
und
E = - mc2

Weil nicht klar ist, was eine negative Energie oder eine negative Masse sein soll, hat er ausserdem das negative Vorzeichen weggelassen.


2.7. Die Klein-Gordon Gleichung

Die Klein-Gordon Gleichung beschreibt relativistisch und quantentheoretisch exakt, wie sich sogenannte Bosonen, also Teilchen mit Spin 1, wie z. B. Photonen, in der Raumzeit bewegen. Die Herleitung ist zwar etwas technisch, aber die Gleichung folgt völlig natürlich aus den obigen Grundlagen. Es braucht keinen kreativen Akt oder eine besondere Idee, um diese so wichtigen Gleichungen herzuleiten.
 

In allen vier Dimensionen lautet die Fouriertransformation von der Raumzeit in den Energie-Impuls Raum:
 

Und umgekehrt:


r steht hier für alle drei Koordinaten x, y und z. Wenn ich diese Funktion nach der Zeit ableite, erhalte ich:


Mit der Definition E := w * h/2p

Eine Ableitung nach x ergibt:
 


mit px := kx * h/2p. Analog in y- und z-Richtung.

Wenn ich eine Wellenfunktion mit dem Impuls p oder der Energie multiplizieren muss, kann ich also stattdessen auch die räumliche, bzw. die zeitliche Ableitung der betreffenden Wellenfunktion bilden und den konstanten Faktor ih/2p davor setzen:


Sofern E und p nicht von der Zeit abhängen, erhalte ich aus den zweiten Ableitungen nach der Zeit und nach dem Ort E2, bzw. p2 mit entsprechenden Vorfaktoren. Mit diesen sogenannten 'Operatoren' geschrieben, lautet die in Anhang 5 hergeleitete 'Einsteinsche' Gleichung:

E2 = m2c4 + c2px2 + c2py2 + c2pz2
 


Dies ist die Klein-Gordon Gleichung.

Wir können sie noch kompakter schreiben mit der Notation:


Damit wird die Klein-Gordon Gleichung zu:


Die Klein-Gordon Gleichung für m=0 wird sich gerade als die Wellengleichung für das elektromagnetische Feld entpuppen.


2.8. Die kräftefreie Dirac Gleichung

Das Problem der Klein-Gordon Gleichung ist, dass sie nicht als Kontinuitätsgleichung interpretiert werden kann. Wenn keine Massen verloren gehen oder entstehen, müsste gelten die:

wobei r die Teilchendichte und jx der Teilchenstrom in die x-Richtung ist (x steht für alle drei Dimensionen).

Die Frage ist also, ob es eine Kontinuitätsgleichung gibt, die beschreibt, wie sich Massen durch die Raumzeit bewegen. Tatsächlich ist es Dirac gelungen, aus der Klein-Gordon Gleichung eine solche Kontinuitätsgleichung abzuleiten (Tre 1). Der erste Schritt besteht darin, die Klein-Gordon Gleichung in zwei Faktoren zu zerlegen, um die Quadrate zu eliminieren. Paul Dirac versuchte die Gleichung nach dem Schema

-a2 - b2 = (ia + b)(ia - b)

zu zerlegen und setzte:
 


Rein algebraisch stimmt die Gleichung. Allerdings müssen a1, a2, a3 und b gewisse Bedingungen erfüllen, nämlich:

aiaj + ajai = 2dij

aib + bai = 0

b2 = 1

dij ist das Kronecker-Symbol. Es ist 1, falls i=j und 0, falls i ungleich j. Man kann zeigen, dass diese Bedingungen nur erfüllt sein können, wenn a1, a2, a3 und b Matrizen sind. Und zwar braucht es im einfachsten Fall komplexwertige 4x4 Matrizen. Häufig wählt man dazu:


gi steht für g1, g2, g3 und si ist jeweils die dazu gehörende Pauli Matrix. Die gi sind also auch 4x4 Matrizen. Damit wird die Dirac-Gleichung zu:


Eigentlich wollten wir ja eine Welle beschreiben. Weil nun 4x4 Matrizen auftreten, haben wir ein Set von vier Wellen. Die Dirac Gleichung führt also auf vier Lösungen Y1, Y2, Y3 und Y4, die im einfachsten Fall, nämlich für ein ruhendes Elektron etwa so aussehen können:


Was bedeutet dies?

Zunächst einmal muss ich betonen, dass es sich hier nicht um Vierervektoren handelt, wie wir sie aus der Relativitätstheorie kennen. Die Vierervektoren der Relativitätstheorie bestehen bekanntlich aus einem Eintrag für Zeit, bzw. Energie und drei Einträgen für die Orts- bzw. Impulskoordinate. Ein Eintrag müsste sich also von den anderen dreien deutlich unterscheiden. Anders in den vierkomponentigen Vektoren der Dirac Gleichung: Die Komponenten treten hier paarweise auf.

Die ersten zwei Komponenten Y1 und Y2 beschreiben gerade ein Teilchen mit Spin ½. Die zweiten zwei Komponenten Y3 und Y4 sind völlig gleich bis auf das negative Vorzeichen. Sie beschreiben also ebenfalls ein Teilchen mit Spin ½, aber mit negativer Energie. Dies war für Paul Dirac der Anlass, die Existenz von Antiteilchen zu postulieren.

Die Dirac-Gleichung beschreibt eine Welle in der Raumzeit. Gesucht ist nun also ein Strom jm = (r, jx, jy, jz), der die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Diese Gleichung ist erfüllt für den folgenden Dichtestrom-4-Vektor:


Seine zeitliche Komponente kann als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden:


Die allgemeine Lösung der kräftefreien Dirac-Gleichung sieht so aus (Tre 1):


Hier kommt erstens die Impuls-Ortskomponente im Exponenten hinzu. Zweitens haben wir mit den zwei Summanden in der Klammer  eine Überlagerung von Teilchen und Antiteilchen. Solange nicht gewisse Möglichkeiten durch Information über den Zustand ausgeschlossen werden, haben wir in der der Quantentheorie immer Überlagerungen aller Möglichkeiten. Sowohl die Klein-Gordon als auch die Dirac Gleichung folgen also zwingend aus der Forderung, dass das Universum mit Information beschrieben werden kann.


2.9. Ein enger Rahmen für die Teilchen

Man könnte denken, die Raumzeit sei eine leere Bühne und nirgends sei festgeschrieben, welche Arten von Teilchen über diese Bühne wandeln können. So ist es aber keineswegs. Im Gegenteil können nur gerade die Sorten von Teilchen auftreten, die wir aus der Physik kennen. Diese höchst erstaunliche und aufregende Tatsache entdeckte Eugen Wigner. Es ist mir unverständlich, weshalb sie in populärwissenschaftlichen Schriften praktisch nie erwähnt wird: Die Raumzeit, so wie wir sie kennen, definiert in sehr engem Rahmen, welche Sorten von Teilchen vorkommen können. Da die Raumzeit des Wehrli-Universums lokal zu derjenigen der Relativitätstheorie äquivalent ist, gilt hier natürlich der gleiche Satz.

Worauf beruht Wigners Erkenntnis?

Wenn ich in der Raumzeit das Koordinatensystem wechsle, also eine Poincaré-Transformation durchführe, werde ich im neuen Koordinatensystem manche Objekte anders beschreiben.

Für jedes Objekt ist definiert, ob und wenn ja wie es sich bei solchen Transformationen verändert. Zur Poincaré-Transformation A gibt es eine Umrechnungsvorschrift TA, die beschreibt, wie sich das Objekt bei dieser Transformation verändert. Ebenso gibt es zur Poincaré-Transformation B eine Umrechnungsvorschrift TB. Die zwei Umrechnungsvorschriften TA und TB hintereinander ausgeführt müssen gerade die Umrechnungsvorschrift TC für die zusammengesetzte Transformation C ergeben.


Durch diese Bedingung, wie sich hintereinander getätigte Transformationen zueinander verhalten müssen, ist die Möglichkeit, wie Teilchen überhaupt sein können, stark eingeschränkt. Die Abbildung j, welche die Poincaré-Transformationen auf die entsprechenden Umrechnungsvorschriften mit diesen Eigenschaften abbildet, nennt man eine Darstellung der Poincaré-Gruppe. Beachte, dass j auch surjektiv sein kann, d. h. dass TA = TB sein kann, obwohl A ungleich B ist. Dies ist z. B. bei der trivialen Darstellung der Fall, die einfach alle Transformationen auf die 1 abbildet.

Die Darstellungstheorie zeigt, dass die Objekte, die sich bei Poincaré-Transformationen nach dieser Regel transformieren, durch vier Eigenschaften charakterisiert werden: Einen Energie-Impulsvektor p=(E/c, p), darin enthalten die Ruhemasse m, einen Spin s und eine sogenannte Spinkomponente ms. In einer Raumzeit, in der die spezielle Relativitätstheorie gilt, sind Teilchen durch die vier Eigenschaften p, m, s und ms charakterisiert. Zu diesen Eigenschaften können noch weitere hinzukommen, wie etwa die Ladung.

Das bemerkenswerte Resultat von Wigners Überlegungen ist, dass es in unserem Universum Teilchen mit ganzzahligem Spin geben kann, aber auch solche mit halbzahligem Spin. Die Teilchen mit halbzahligem Spin sind aus Sicht der klassischen Physik absolut mysteriös. Denn Spin 1/2 bedeutet z. B., dass sich ein solches Teilchen verändert, wenn es um 360° gedreht wird (siehe dazu Spin 1/2 Teilchen drehen). Diese völlig verrückte Eigenschaft, die die Physiker anfangs sehr verwirrte, folgt unmittelbar aus der Ur-Theorie.
 

2.10. Hamiltons Prinzip der kleinsten Wirkung

Nach Hamilton wählen Teilchen den Weg, bei dem ihre Wirkung extremal wird. Weil dies in der klassischen Physik normalerweise die kleinste Wirkung ist, nennt man diesen Satz Hamiltons Prinzip der kleinsten Wirkung. Es handelt sich dabei um ein Wellenphänomen, und da wir es hier mit Wellen zu tun haben, gilt das Prinzip der kleinsten Wirkung auch im Wehrli-Unviversum. Die Hintergründe dieses Prinzips erkläre ich im Artikel zum Hamiltonschen Prinzip. Ich verzichte hier auf einen Beweis und auf mathematische Exaktheit und nenne einfach die Formeln. Aber es ist nichts Mystisches dahinter. Es ist einfach eine Technik, mit der wir berechnen können, wie sich Wellen ausbreiten. Das Hamiltonsche Prinzip ist die Grundlage der Quantenfeldtheorie und der Pfadintegralmethode. Wir werden es brauchen, um die Kräfte zu verstehen.

Im Zentrum der Betrachtung steht die sogenannte Lagrange-Funktion L(t, j, j’), eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. t ist die Zeit. j ist eine reellwertige Funktion, also ein Feld von reellen Zahlen in der Raumzeit. j’ ist die zeitliche Ableitung von j. In der Physik steht die Lagrange-Funktion L eines Systems für die Differenz T-U zwischen der kinetischen Energie T und der potentiellen Energie U.

Nun definieren wir ein Funktional S(j):

Ein Funktional ist eine Funktion, die eine Funktion im Argument hat. D. h. S(j) ordnet jeder Funktion j eine reelle Zahl zu. Eine Grösse, die wie S(j) die Dimension Energie mal Zeit hat, nennt man eine Wirkung. Die Wirkung S entspricht einer Drehung der Phase der Welle nach der folgenden Formel (das Plancksche Wirkungsquantum h ist 1 gesetzt, wie dies von Physikern häufig gemacht wird):
 

Diese Drehung der Phase entspricht einem möglichen Weg, wie sich das System entwickeln könnte. In der Quantenfeldtheorie werden aber alle möglichen Wege überlagert, so wie ich dies im Wehrli-Universum auch fordere. Deshalb müssen wir über alle möglichen Felder j integrieren. Das ergibt (Zee 1):

Im Integral im Exponenten erkennen wir wieder die Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie T-U, also die Lagrange-Funktion. Z ist der sogenannte Propagator, die Amplitude für die Entwicklung eines Systems im Grundzustand, also ohne Teilchen. In einem System ohne Teilchen passiert also nicht nichts. Vielmehr besteht dieses System aus einer Überlagerung aller möglichen Zustände eines Feldes.

Man kann sich dieses Feld vorstellen als ein Gitternetz, in dem unendlich viele Teilchen mit Federn aneinander gekoppelt sind. Die potentielle Energie beschreibt dann, wie sehr die Teilchen aus ihrem Ruhezustand ausgelenkt sind. Die kinetische Energie beschreibt, wie schnell sich die Auslenkung verändert. Es handelt sich also um ein System von unendlich vielen harmonischen Oszillatoren. Allerdings sind die ‘Teilchen’ in diesem Gitternetz nicht physikalische Teilchen, sondern nur eine Veranschaulichung der Veränderung des Feldes. Um das Feld exakt zu beschreiben, muss man die Abstände zwischen den fiktiven ‘Teilchen’ immer kleiner und schliesslich null machen.

Im nächsten Abschnitt betrachten wir, was geschieht, wenn wir an bestimmten Orten dieses Gitternetzes rütteln. Dies ist genau das, was Ladungen tun.


2.11. Das Spin 0 Feld trägt die starke Kraft

In diesem Abschnitt werde ich die Formeln nicht im Detail begründen. Die exakte Herleitung findet man bei (Zee 1, Chapter I.3 and Chapter I.4). Wie in Abschnitt 2.10. erwähnt, kann ein Feld mit einem unendlich feinen Gitternetz verglichen werden.

Wenn ich am oben erwähnten Gitternetz rüttle, muss ich zur Energie in der letzten Formel in Abschnitt 2.10. einen Rüttelterm J(x)j(x) hinzufügen:

W ist die Wirkung der Überlagerung aller möglichen Felder j, während S(j) die Wirkung eines bestimmten Feldes j ist. Der Rüttelterm J(x)j(x) kann an sich beliebig sein. Im Wehrli-Universum, das ja aus einer Überlagerung aller Möglichkeiten besteht, gibt es auch eine Überlagerung aller möglichen Rüttelterme. Betrachten wir einmal einen J(x), der überall verschwindet, ausser an zwei bestimmten Orten. Also
J(x) = J1(x) + J2(x)
Dies bedeutet, dass an einem Ort der Raumzeit gerüttelt wird, während am anderen Ort die Welle verschwindet (Abbildung 1).

Abbildung 1. Zwei Massenpunkte in der Raumzeit. Der x-Vektor steht für alle drei Raumdimensionen.

Das obige Integral ist vom Typ des Gaussschen Integrals. Wie es gelöst wird, erklärt (Zee 1, Chapters I.2,, I.3.) ausführlich. Die mathematische Auswertung ergibt, dass J(x) in der Wirkung W(J) quadratisch vorkommt. Die Wirkung sieht dann so aus:


Mit d4x ist die Integration über die ganze Raumzeit gemeint, denn das erste Teilchen kann irgendwo in der Raumzeit sein. d4y steht für das zweite Teilchen. Nach einer Fouriertransformation schreiben wir die Wirkung im Energie-Impuls Raum:

Der Term ie mit der komplexen Zahl i muss eingefügt werden, damit der Nenner des Bruches nicht null werden kann. Später, wenn diese Gefahr nicht mehr besteht, werden wir e gegen null streben lassen.

J(k)* ist das komplex Konjugierte von J(k). Für reelle J(x) ist J(k)*=J(-k). J(k)* ist also ein ‘Vernichtungsoperator’, der die Energie k verschwinden lässt. Bei der Ausmultiplikation ergeben sich vier Summanden, nämlich J1*J1, J2*J2, J1*J2 und J2*J1.

Der Term J1*J2 bedeutet, dass das Gitternetz bei J2 geschüttelt wird und die Welle bei J1 geschluckt wird. Interessant sind nur die Summanden J1*J2 und J2*J1, denn die anderen sind ja immer da. Beachte, dass bei der Pfadintegralmethode auch die Möglichkeit besteht, dass die Welle aus der Zukunft in die Vergangenheit fliesst. So auch im Wehrli-Universum, in dem bis jetzt ja noch gar kein Zeitpfeil definiert ist.

Weil Quellen und Senken nicht unterscheidbar sind, werden meist beide Quellen genannt.

Durch eine Fouriertransformation können wir die Formel in den Energie-Impuls Raum übertragen. Aus der Formel S(J) = ET (die Wirkung ist gleich Energie mal Zeit) können wir die Energie berechnen. Wir erhalten (Zee 1):

Diese Energie ist negativ. Aber dE/dr > 0. Das bedeutet: Die zwei Quellen können ihre Gesamtenergie vermindern, indem sie näher zusammen rücken. Die zwei Quellen ziehen sich an!

Experimentalphysiker nennen das, was bei diesem Rütteln von den zwei Quellen ausgetauscht wird, ein Teilchen. m ist die Masse dieses Austauschteilchens. Wenn m=0 ist, erhalten wir gerade das 1/r2 Gesetz, das wir von der Gravitation und vom Coulombgesetz kennen.

Hier sind wir aber von einem Skalarfeld ausgegangen, d. h. J(x) ist einfach eine reellwertige Funktion. Man nennt dies auch ein Spin 0 Feld. Wie Yukawa herausfand, beschreibt die obige Formel gerade die starke Kraft. Diese ist für gleichnamige Ladungen anziehend.

Als nächstes betrachten wir ein Vektorfeld, was uns zur elektrischen Kraft führt. Und schliesslich ein Tensorfeld, was die Gravitation ergibt. Beides findet man ausführlicher erklärt in (Zee 1).


2.12. Das Spin 1 Feld trägt die Elektroschwache Kraft und führt zu den Maxwell-Gleichungen

In diesem Abschnitt werde ich die Maxwell-Gleichungen herleiten. Ich folge dabei (Zee 1, Kapitel I.5. Appendix).

Betrachten wir nun ein Spin 1 Feld. Spin 1 bedeutet, dass sich das Feld unter der 3-dimensionalen Rotationsgruppe wie ein Vektor transformiert. Das einfachste Lorentz Objekt, das einen 3-dimensionalen Vektor enthält, ist der 4-dimensionale Vektor. Ich setze also einen 4-dimensionalen Vektor Am in die in 2.7. hergeleiteten Klein-Gordon Gleichung ein:


Nun hat ein Spin 1 Teilchen drei Freiheitsgrade, das Feld Am aber deren vier. Wir müssen also mit einer zusätzlichen Bedingungen die vier Freiheitsgrade auf drei einschränken. Die einzige Lorentz-kovariante in Am lineare Möglichkeit einer solchen Bedingung ist:

Die gesamte Information der obigen zwei Gleichungen kann in eine Gleichung zusammengefasst werden:

Daraus können wir einen Lagrange-Term konstruieren, indem wir die linke Seite mit +1/2 Am multiplizieren. (Das 1/2 ist reine Konvention, aber das Pluszeichen ist zwingend. Würden wir ein Minus einsetzen, ergäbe sich eine negative Energie, also eine imaginäre Geschwindigkeit.):

Durch partielle Integration erhalten wir die massive Version der Maxwell Lagrange-Funktion. Im Limes m -> 0 finden wir die Maxwell-Gleichungen.


2.13. Die Coulomb-Kraft

Dieser Abschnitt basiert auf ((Zee 1) Chapter I.5 Why like charges repel).

Wenn wir mit dem oben hergeleiteten Lagrange-Term eine Wirkung konstruieren und wie in Abschnitt 2.11. einen Schüttelterm AmJm einfügen, kriegen wir:

Im Gegensatz zum j in Abschnitt 2.11., das ein Skalarfeld war, ist das An, bzw. Am Vektorfelder. Wieder können wir diese Wirkung mit einer Fouriertransformation in den Energie-Impulsraum übertragen. Für die Gesamtwirkung W(J) ergibt dies:

Weil die Ladung erhalten ist, gilt:

Diese Ladungserhaltung wird im Energie-Impulsraum zu kmJm(k) = 0. Wir können daher den Term kmknm-2 weglassen. Dies ergibt uns auch die Möglichkeit, später die Masse gegen null gehen zu lassen. Wir erhalten:

Im Gegensatz zum Resultat im Skalarfeld (Abschnitt 2.11. haben wir hier kein Minus mehr vor dem Integral. D. h., die potentielle Energie zwischen zwei Ladungen J0(x) ist positiv. Zwei gleichnamige Ladungen stossen sich ab! Wie in 2.11. können wir die Masse des Austauschteilchens gegen 0 gehen lassen. So erhalten wir als potentielle Energie zwischen gleichnamigen Ladungen wie in 2.11., aber mit einem positiven Vorzeichen:

Um positive und negative Ladungen zu unterscheiden, schreiben wir
Jm = Jpm - Jnm. So sehen wir sogleich, dass eine positive Ladung Jp0 eine negative Ladung Jn0 anzieht.
 

3. Die Gravitation

3. 1. Überblick

Die Abschnitte 3.1-3.4 hängen eng zusammen. Sie zielen darauf ab, die Einsteinschen Feldgleichungen herzuleiten und damit die Gravitation zu verstehen. Meine Argumentationskette stützt sich auf eine Reihe genialer Arbeiten unter anderem von William G. Unruh, Jacob Bekenstein, Stephen Hawking, Eugenio Bianchi, bzw. Sergey Solodukhin und insbesondere Ted Jacobson. Jacobson zeigte in einer brillanten Arbeit, wie Einsteins Feldgleichung aus der Proportionalität von Entropie und Horizont-Flächeninhalt hergeleitet werden können. Dabei geht er von der fundamentalen Gleichung dQ=TdS aus, die Wärme, Temperatur und Entropie verbindet. Er fordert, dass diese Gleichung in jedem Punkt der Raumzeit für jeden lokalen Rindler Horizont gültig ist. Dabei interpretiert er dQ als Energiefluss und T als Unruh Temperatur, wie sie von einem beschleunigten Beobachter gleich innerhalb des Horizonts gesehen wird.

Jacobson kommt zum Schluss: Damit die Gleichung dQ=TdS überall gültig ist, muss die Energie der Materie, die kausale Struktur der Raumzeit gerade so verzerren, dass Einsteins Feldgleichungen gelten.

Nicht klar ist bei Jacobsons Arbeit, weshalb die Entropie zum Horizont-Flächeninhalt proportional sein soll. Eugenio Bianchi konnte aber zeigen, dass die Entropie als Folge der Verschränkung virtueller Teilchen interpretiert werden kann, die von einem kausalen Horizont getrennt sind. Damit ist die Proportionalität von Entropie und Flächeninhalt des Horizonts einleuchtend.

Durch die Kombination der Arbeiten von Jacobson und Bianchi werden also die Einsteinschen Feldgleichungen aus der Quantentheorie und der Wärmelehre hergeleitet. Dies scheint mir eines der bemerkenswertesten Resultate der jüngeren Physik.

Wenn ich die Herleitung aber Schritt für Schritt nachvollziehe, scheint mir, Jacobson und Einstein hätten die Feldgleichungen von der falschen Seite gelesen: Die Gleichungen beschreiben nicht Massen, die die Raumzeit krümmen, sondern es ist umgekehrt: Die Raumzeit-Krümmung bringt die Massen hervor.

Jacobsons Herleitung zeigt sogar noch mehr. Nämlich, dass alle Materie und alle Energie im Universum durch die Krümmung der Raumzeit real geworden ist. Gäbe es nämlich Materie oder Energie im Universum, die nicht auf diese Weise entstanden sind, so würde Einsteins Feldgleichungen nicht gelten.

Mit dieser Lesart entfällt das Kernproblem bei der Vereinigung von Relativitätstheorie und Quantentheorie. Die Konflikte zwischen Relativitätstheorie und Quantentheorie basieren auf der Vorstellung, Materie krümme die Raumzeit. Denn dann ist nicht klar, weshalb die virtuellen Teilchen des Vakuums die Raumzeit nicht bis zur Unkenntlichkeit verzerren und zerreissen. Bei der elektrischen Kraft müssen die Effekte der virtuellen Teilchen berücksichtigt werden. Dies ist die sogenannte Vakuumpolarisation. Physiker erwarten heute, dass dies bei der Gravitation nicht anders ist. Weil es aber keine abstossende Gravitation gibt, würden sich die Einflüsse aller virtuellen Teilchen summieren, so dass die Raumzeit unendlich verzerrt und zerrissen wäre. Wenn wir aber zum Schluss kommen, dass die virtuellen Teilchen die Raumzeit überhaupt nicht krümmen, gibt es natürlich auch keine unendliche Krümmung.


3.2. Gauss / Rindler: Der gekrümmte Raum

Carl Friedrich Gauss hat lange vor der Entdeckung der allgemeinen Relativitätstheorie festgestellt, dass gekrümmte Räume in gewissem Sinne elementarer sind als der flache. Zur Beschreibung eines gekrümmten Raumes wird in jedem Punkt der Raumzeit ein metrischer Tensor eingeführt, der die Krümmung und Verzerrung der Raumzeit festlegt. Im flachen Raum ist dieser Tensor überall null. Der flache Raum ist also ein Spezialfall des gekrümmten. Deshalb ist es nicht erstaunlich, wenn die Raumzeit unseres Universums gekrümmt ist und nicht gerade dem Spezialfall entspricht.

Lokal ist die Beschreibung einer Raumzeitkrümmung äquivalent zur Beschreibung eines beschleunigten Systems. ‚Lokal‘ bedeutet, dass das betrachtete Gebiet so klein ist, dass die Gezeitenkräfte vernachlässigbar sind. Dann können Rindler-Koordinaten verwendet werden, sowohl im Fall der Raumzeitkrümmung als auch zur Beschreibung eines gleichmässig beschleunigten Beobachters (Abbildung 1).

Abbildung 1. Rindler-Koordinatensystem: Der Rindler-Beobachter bewegt sich auf einer der blauen Hyperbeln. Die Diagonalen sind die Rindler-Horizonte. Der Rindler-Beobachter im rechten Keil R+ kann einem Beobachter in R- weder ein Signal senden, noch von diesem ein Signal empfangen.

Das Rindler-Koordinatensystem ist durch die zwei Diagonalen in vier Bereiche eingeteilt. Der Bereich |t|<x wird der rechte Keil genannt (right wedge) und mit R+ gekennzeichnet. Der Bereich |t|>x heisst der linke Keil R- (left wedge). Ausserdem gibt es den Vergangenheits- und den Zukunftskeil. Die blauen Linien im R+ sind Weltlinien von Beobachtern, die mit gleichmässiger Beschleunigung in x-Richtung beschleunigt werden. Solange sie gleichmässig beschleunigt werden, können sie weder aus R- noch aus dem Zukunftskeil Nachrichten empfangen. Für sie ist die Diagonale von links unten nach rechts oben ein kausaler Horizont, der sogenannte Rindler-Horizont. Das Rindler-Koordinatensystem ist nur auf dem rechten (oder nur auf dem linken) Keil definiert. Jeder Punkt des Diagramms steht für eine Fläche parallel zur y/z Ebene. Die als gestrichelte Linien eingezeichneten Rindler-Horizonte sind also dreidimensionale Gebiete in der Raumzeit.

Wir sollten also nicht erstaunt sein, dass unsere Raumzeit gekrümmt ist. Räume sind im allgemeinen gekrümmt, und nur ein Spezialfall ist flach. Wenn wir aber die Quantentheorie in einem gekrümmten Raum betrachten, finden wir ein wirklich erstaunliches Phänomen
 

3.3. Hawking / Unruh: Teilchen aus dem Nichts!

1976 veröffentlichte William Unruh eine Entdeckung, die wohl zu den überraschendsten der ganzen Physik gehört. Wenn ein Beobachter durch ein Vakuum beschleunigt wird, geschieht etwas geradezu Magisches: Der Beobachter sieht um sich herum kein Vakuum, sondern ein Bad realer Teilchen! Stephen Hawking bewies, dass das Gleiche einem ruhenden Beobachter in einer gekrümmten Raumzeit passiert (Haw 2). Wenn die Quantenfeldtheorie gelten soll, kann eine gekrümmte Raumzeit nicht leer sein! Ob es Teilchen gibt und wenn ja, wie viele, ist vom Beobachter abhängig. Wo der eine Beobachter ein Vakuum sieht, misst der andere reale Teilchen. Eine vereinfachte Herleitung dieses Phänomens findet man bei Paul Alsing. .

Unruh betrachtet in seiner Arbeit einen sehr einfachen Teilchendetektor, der durch ein Vakuum beschleunigt wird. Der quantentheoretisch beschriebene Teilchendetektor misst bei der Beschleunigung plötzlich Teilchen, obwohl für den ruhenden Beobachter überhaupt keine Teilchen da sind. Ein dritter Beobachter würde vielleicht sogar sagen, der Detektor habe ein Teilchen emittiert. Bei Unruhs Vorgehen bleibt der Verdacht, dass der Detektor durch die Beschleunigung angeregt wurde und dass das Vakuum überhaupt nichts mit der Sache zu tun hat.

Ich bevorzuge daher die Analyse von Shin Takagi (Tak 1). Takagi geht von einem Quantenfeld F aus, das er in Minkowski-Koordinaten beschreibt, also im Ruhesystem. F setzt sich aus den Minkowski-Moden {Uk, Uk*} zusammen und ist das Integral über den Raum:

sind der Vernichtungsoperator eines Teilchens, bzw. der Erzeugungsoperator eines Antiteilchens mit Wellenzahl k. n-1 bezeichnet die Anzahl Raumdimensionen. (Takagi berechnet Formeln für Räume verschiedener Dimensionen. Deshalb benützt er die Variable n für die Anzahl Dimensionen der Raumzeit.)

Wir betrachten nun ein quantentheoretisch beschriebenes Vakuum. Man könnte denken, zur Beschreibung des Vakuums könne man einfach alle Quantenfelder null setzen. Würde man dies aber tun, so wäre die Energie unendlich hoch und der Zustand würde in einen energieärmeren fallen. Das ist nicht das, was wir von einem Vakuum erwarten würden. Deshalb definiert man das Vakuum als denjenigen Zustand, der nicht in ein tieferes Energieniveau fallen kann. D.h., im Vakuum können keine Teilchen und keine Antiteilchen verschwinden:

|0M> ist das Minkowski-Vakuum, nämlich das Vakuum, wie es sich aus Sicht des ruhenden Beobachters zeigt.

Dies ist der erste entscheidende Punkt: Das Quantenvakuum ist keineswegs trivial, sondern es wird wie jedes Quantenfeld aus Minkowski-Moden zusammen gesetzt, die nicht null sind.

Takagi beschreibt aber noch ein anderes Vakuum, nämlich das Rindler-Fulling Vakuum |0R>. Das ist das System, das von einem gleichmässig beschleunigten Beobachter in Rindlerkoordinaten als „frei von Teilchen“ bezeichnet würde. In diesem System gilt:

Anders als beim ruhenden System der Minkowski Koordinaten wird hier jede Mode in zwei Teile gespalten, weil das Rindler-Koordinatensystem in einen positiven und einen negativen Keil geteilt ist. Diese werden mit s gekennzeichnet. s ist ein Pluszeichen (+), falls es sich um den Anteil im positiven Keil handelt (R+). Im negativen Keil (R-) ist s ein Minuszeichen (–).

Um das Minkowski Vakuum besser mit dem Rindler-Fulling Vakuum vergleichen zu können, konstruiert Takagi Operatoren d und d, die wie a und a das Minkowski Vakuum null setzen, aber wie die Operatoren b(s) und b(s) in die Bereiche R+ und R- getrennt sind. Es gilt also:

Tagaki vergleicht dann die Wirkungen der Operatoren b(s) und d(s) auf das ruhende Vakuum |0M> miteinander. Es zeigt sich:

Das b(s) ist der Vernichtungsoperator aus dem Rindler-Fulling System. Das d(-s)+ ist aber ein Erzeugungsoperator. [Anmerkung: Die Unterstreichung sollte hier und im Folgenden eigentlich ein Balken über dem d sein. Dies geht aber mit meinem Programm nicht. In den Formeln ist es korrekt.] Er erzeugt ein Antiteilchen mit entgegengesetztem Impuls im entgegengesetzten Rindler-Keil. Das heisst: Durch den Horizont entstehen im Vakuum verschränkte Teilchen-Antiteilchenpaare, wobei jeweils ein Teilchen im linken Rindler-Keil R- mit einem Antiteilchen im rechten Rindler-Keil R+ korreliert ist und umgekehrt.

Für einen Rindler-Beobachter, also einen Beobachter mit gleichmässiger Beschleunigung auf dem positiven Rindler-Keil verschwinden alle Moden u(-)(x). Jede seiner Observablen ist eine Funktion von b(+) und b(+) und ihrer hermiteschen Konjugierten, aber unabhängig von b(-) und b(-). Der Erwartungswert für einen Operator in R+ schreibt sich als:

Mit der Dichtematrix r(+), die ebenfalls auf den positiven Rindler Keil R+ beschränkt ist:

Wobei HR(+) der Hamilton Operator auf dem positiven Rindler Keil R+ ist.

Das Bemerkenswerte an diesem Resultat ist, dass die Dichtematrix r(+) kanonisch ist, was bedeutet, dass es sich um einen gemischten Zustand handelt und nicht mehr um einen reinen. Die Dichtematrix r(+) beschreibt ein thermisches Bad der Temperatur

Ein im Vakuum mit a beschleunigter Beobachter sieht kein Vakuum, sondern ein Bad realer Teilchen der Temperatur T. T ist die sogenannte Unruh-Temperatur, kB die Bolzmann Konstante, ħ die reduzierte Plancksche Konstante und c die Lichtgeschwindigkeit.

Unruhs Überlegungen zeigen: In einem gekrümmten Raum oder für im flachen Raum beschleunigte Beobachter kann der Begriff ‘Vakuum’ nicht unabhängig vom Beobachter definiert werden!

Die Dramatik dieser Feststellung ist kaum zu überbieten. Bisher habe ich rein theoretisch überlegt, welche Dinge mit Information mathematisch beschrieben werden können. Es ist bemerkenswert, dass dies genau die bekannten Teilchen der Teilchenphysik sind. Dies waren aber theoretische Überlegungen. Nichts deutete bis jetzt darauf hin, dass es diese Teilchen tatsächlich gibt. Nun zeigt sich aber: Wenn das Universum nicht völlig flach ist, gibt es zwangsläufig auch Teilchen. Wo immer es eine Krümmung in der Raumzeit gibt, gibt es Teilchen. Von den unendlich vielen Möglichkeiten, wie der Raum der Informationen definiert werden kann, gibt es nur eine einzige, in der es keine Teilchen gibt, nämlich der flache Raum.

Man beachte, dass aufgrund der Herleitung niemand auf die Idee kommen würde zu sagen, die Teilchen hätten die Beschleunigung verursacht oder den Raum gekrümmt. Die Teilchen sind überhaupt erst real geworden, weil da eine Krümmung oder eine Beschleunigung ist.

 

Wenn da aber eine Unruh Temperatur ist, sollte es dann nicht auch eine Unruh Entropie und eine Unruh Energie geben? In der Thermodynamik tritt eine Temperatur immer in Gesellschaft einer Entropie S und einer Energie Q auf. Das Seltsame an der Unruh Temperatur ist, dass sie durch Verschränkung zustande kommt, also nichtlokal. Wenn wir die Definitionen von Energie, Entropie und Temperatur anschauen, scheint klar, dass diese an der selben Stelle zur selben Zeit auftreten müssen. Halten wir uns die Idee hinter den Definitionen noch einmal vor Augen (Ber 2).

Es sei die W die Anzahl der möglichen Zustände, in der sich ein System befinden kann. Dann ist lnW in guter Näherung die Anzahl Freiheitsgrade des Systems. Die Entropie S ist definiert durch: S = kB lnW, wobei kB die Bolzmann Konstante ist, die gebraucht wird, um S(r) in den Einheiten der Thermodynamik zu haben. S ist ein logarithmisches Mass für die Anzahl Zustände, die in einem System realisiert werden können. S ist in guter Näherung proportional zur Anzahl Qubits, die benötigt werden, um das System zu beschreiben.

Wird dem System Energie zugeführt, so ändert sich S, denn meist können mit mehr Energie auch mehr Zustände realisiert werden. Dies motiviert die Definition der Temperatur T:

Es zeigt sich, dass sich die Temperatur praktisch nicht ändert, wenn einem System eine kleine Energiemenge dQ zugeführt wird.  Wenn die zugeführte Energie dQ klein ist im Vergleich zur Gesamtenergie des Systems, ändert sich nur die Entropie, also die Anzahl der Freiheitsgrade. Es gilt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik: dQ = T dS
Die Temperatur T hat also eine sehr anschauliche Bedeutung: Sie ist ein Mass für die Energie, die im Durchschnitt auf den einzelnen Freiheitsgrad fällt.

Schauen wir jetzt, wie die Entropie an Horizonten entsteht.


3.4. von Neumann: Horizonte verursachen Verschränkungs-Entropie

Zwei Phänomene müssen zusammenspielen, damit Teilchen entstehen können, wie Unruh es beschrieben hat. Erstens ist das Vakuum nicht trivial. Vielmehr muss es als eine Überlagerung harmonischer Wellen beschrieben werden, die nichtlokal verschränkt sind. Zweitens gibt es durch die Beschleunigung oder durch die Krümmung der Raumzeit einen kausalen Horizont, der lokal als Rindler Horizont beschrieben werden kann.

Wenn die Unruh-Temperatur auf den Phänomenen Verschränkung und Horizont beruht, hängen wohl auch die dazugehörende Entropie und Energie von diesen Phänomenen ab. Sonst wären die Definitionen in Abschnitt 2 nicht konsistent.

John von Neumann zeigte, wie die Entropie eines Quantensystems berechnet werden kann (Lyr 1). Er ging aus von der Formel von Shannon für den Informationsgehalt einer Nachricht mit n Zeichen:

pi ist die a priori Wahrscheinlichkeit, mit der das i-te Zeichen das gesehene Resultat zeigt. ld ist der Logarithmus zur Basis 2. Und somit ist -ld pi die Anzahl bit, die nötig ist, um das i-te Zeichen zu senden. –pi ld pi ist die nach Auftretenswahrscheinlichkeit gewichtete Informationsmenge eines Zeichens. H gibt also an, wie viele Bit im Durchschnitt nötig sind, um eine Nachricht mit n Zeichen zu senden.

Von Neumann hat die Formel von Shannon in den Quantenformalismus umformuliert. In der Quantentheorie enthält die Dichtematrix r die vollständige Information über das quantenmechanische System (Lyr 1):

Von Neumann setzte dies sinngemäss in die Formel von Shannon ein und entdeckte damit die Formel für die Entropie S eines Quantensystems mit Dichtematrix r:

kB ist wieder die Bolzmannkonstante. Die Summenbildung bei Shannon wird im Quantenformalismus zur Spurbildung. Ausserdem haben wir nun den Logarithmus naturalis statt des Zweierlogarithmus, weil wir die Information von Quantensystemen in Qubits messen, statt in Bits.

Die von Neumann Entropie S(r) ist die in der Dichtematrix r enthaltene Information. Wird das System in orthonormalen Quantenzuständen beschrieben, so ist S(r) gerade die mittlere Zahl von 2-Niveau Systemen, die nötig ist, um die Zustände des Ensembles zu kodieren (Aud 3). Reine Zustände haben Entropie null.

Betrachten wir nun einen reinen Vakuumzustand |y> eines Quantensystems, das in einem Gebiet O definiert ist. Die Freiheitsgrade dieses Systems sollen in gewissen Unterregionen von O lokalisiert sein. Ein Beispiel für diese Situation ist ein System von Oszillatoren. Die Wellenfunktion des globalen Systems kann durch eine Linearkombination von Produkten von Quantenzuständen aus den beiden Teilsystemen geschrieben werden:

Dabei sind die Zustände |A>i durch die Freiheitsgrade im Gebiet A gebildet worden und die |B>j durch die Freiheitsgrade im Gebiet B. Die zum reinen Vakuumszustand |y> gehörende Dichtematrix

hat null Entropie, wie alle reinen Zustände. Ein Beobachter, der nur Zugang zur Region A hat, muss über sämtliche Freiheitsgrade der Region B die Spur bilden und erhält so die Dichtematrix

mit den Elementen (rA)ij = (yy+)ij. Die von Neumann Entropie für diese Dichtematrix ist:

Analog kann man die Entropie SB bilden und es gilt: SA = SB. Dies zeigt, dass die Verschränkungs-Entropie nicht vom Volumen einer Teilregion A oder B abhängen kann. Denn die Volumina müssen ja nicht gleich sein. Die Herleitung macht aber plausibel, dass die Verschränkungs-Entropie proportional ist zum Flächeninhalt A(S) der Trennfläche. Dieser Verdacht wird durch eine Arbeit von Solodukhin untermauert.

 

3.5. Solodukhin / Bekenstein / Hawking: Proportionalität von Verschränkungsentropie und Horizont-oberfläche

Wenn man die Verschränkungsentropie nun konkret ausrechnet, sieht man, dass diese unendlich gross wird. Dies liegt daran, dass die Wellenlängen nach den bisherigen Annahmen beliebig klein sein können und dass die Energie umso grösser wird, je kleiner die Wellenlänge ist. Wenn es aber eine kleinste erlaubte Länge l0 gibt, einen sogenannten UV cut-off, ergibt sich eine endliche Entropie (Sol 1). Solodukhin berechnet die Beziehung von Verschränkungsentropie und Flächeninhalt A(S) der Horizontfläche für verschiedene Situationen und in verschiedenen Dimensionen. Für die 3+1 dimensionale Raumzeit ergibt ein UV cut-off von l0 im allgemeinen eine Proportionalität:

Aus der Theorie folgt nicht, weshalb es einen UV cut-off geben sollte. l0 könnte auch null sein, was bedeuten würde, dass die Entropie bei der kleinsten Krümmung oder Beschleunigung unendlich werden würde. Wenn wir aber als UV cut-off die doppelte Plancksche Länge einsetzen, ergibt sich gerade die Formel von Hawking und Bekenstein für die Entropie schwarzer Löcher:

mit den folgenden Bezeichnungen: dS ist die Änderung der Verschränkungsentropie des schwarzen Lochs, A(S) ist der Oberflächeninhalt des Horizonts, kB ist die Bolzmann Konstante, APl ist die Planckfläche.

Im letzten Term habe ich die Gravitationskonstante statt der Planckschen Fläche verwendet, die hier zwar nicht als Gravitationskonstante eingeführt wird. Sie ersetzt einfach die Konstante, die für den UV cut-off nötig war. Später wird sie sich natürlich als Newtons Konstante erweisen. Wäre der UV cut-off null, so wäre auch G=0.

Wir haben also ein System der Entropie 0 in zwei Teilsysteme getrennt, die beide eine positive Entropie haben. Und bemerkenswerterweise ist die Entropie des Systems A gleich der Entropie des Systems B. Die gesamte im System A enthaltene Information ist Verschränkungsentropie. In A steckt die Information über das System B und umgekehrt.

Mir scheint, dies ist eine grundlegende Eigenschaft von Information: Information existiert nie für sich alleine. Es gibt nur Information über etwas. Nämlich eben über das verschränkte Teilchen, bzw. über das verschränkte System.

Als nächstes werde ich zeigen, dass die oben berechnete Horizont Entropie die maximale Entropie ist, die hinter einem Horizont der Fläche A(S) liegen kann. Betrachten wir dazu ein System von n Spins. Ich will zeigen: Damit die n Spins eindeutig definiert werden können, müssen sie mindestens von einer Fläche umschlossen sein, für die die Formel von Bekenstein-Hawking gilt.

Es seien |> und |> die Basiszustände eines Spin ½ Teilchens, Spin aufwärts, bzw. Spin abwärts. Jeder Zustand eines Teilchens mit Spin ½ kann dann als Überlagerung dieser Basiszustände geschrieben werden als:

(19) |> = w|> + z|>

Mit Hilfe der Riemann-Kugel kann gezeigt werden, in welche Raumrichtung dieser neue Zustand zeigt. Man betrachtet dazu die komplexe Zahl q = z/w, wobei q auch  sein kann. Man zeichnet nun die komplexe Ebene. (Siehe Abbildung 2).

Der Strahl der positiven reellen Zahlen sei die x-, der Strahl der rein komplexen Zahlen die y-Richtung. Senkrecht dazu ist die z-Richtung. Um den Ursprung zeichnet man die Riemann-Kugel. Man zeichnet q auf die komplexe Ebene. Dann verbindet man den untersten Punkt der Kugel mit q und verlängert so lange, bis der Strahl die Riemann-Kugel schneidet, - wenn er dies nicht bereits in der unteren Kugelhälfte getan hat. Wenn |q| < 1 ist, also wenn |z| < |w| ist, gibt das einen Schnittpunkt q‘ in der oberen Hälfte der Kugel. Wenn |q| > 1 ist, liegt der Schnittpunkt q‘ in der unteren Kugelhälfte. Der Vektor vom Ursprung zu q‘ gibt die Spinrichtung an.

Abbildung 2. Wenn ein Zustandsvektor eines Spin ½ Teilchens gegeben ist, kann mit Hilfe der Riemann-Sphäre abgelesen werden, in welche Raumrichtung der Spin steht.

Zwar ist es nicht möglich, die komplexen Zahlen w, z oder q zu messen. Wenn aber alle Information Verschränkungsentropie ist, kann ich den Zustand A festlegen, indem ich das verschränkte Partnersystem B ausmesse. Richtig: Erst durch die Messung am System B wird der Zustandsvektor für das unbekannte Teilchen in A definiert. Wenn ich danach bei A den Spin genau in diese Richtung messe, erhalte ich mit Sicherheit das Resultat, das mit dem bereits ausgemessenen System B in Einklang steht. Der abstrakt berechnete Punkt q‘ auf der Riemann-Sphäre hat also eine sehr reale Bedeutung im Raum: Er definiert die Richtung, in die der Spin bei entsprechender Messung mit Sicherheit liegt.

Betrachten wir nun ein System von n Spin ½ Teilchen. Diese bilden das System A, und es gebe ein dazu verschränktes System B. Wieder kann ich durch Messungen in B festlegen, in welche Richtung die Spins der verschränkten Partner in A definiert sein sollen. Wenn ich die Richtungen der Messungen geeignet wähle, kann es nicht passieren, dass zwei Spins in A in die gleiche Richtung zeigen. Der Zustand in A wird dann durch n verschiedene Punkte auf der Riemann-Sphäre beschrieben. Das heisst: Damit das System A n Qubit Information enthalten kann, muss es möglich sein, n verschiedene Punkte auf eine Sphäre um das System herum zu definieren. Wenn es eine minimale Länge l0 von der Grösse der doppelten Planckschen Länge gibt, braucht es für n Qubits eine Oberfläche von A=nl02. Dies ergibt wieder die Formel von Hawking-Bekenstein:

Wenn wir die Information von n Spins speichern wollen, müssen die Spin tragenden Teilchen mindestens von einer Oberfläche

umgeben sein.

Weil ein Horizont keine Information heraus lässt, kann die Horizontoberfläche nicht davon abhängen, wie die Information gespeichert ist. Sonst könnte man ja Information durch den Horizont senden, indem man die Teilchen innerhalb des Horizonts verändert und so die Horizontoberfläche verändert.

Die Annahme, es gebe einen UV cut-off scheint auf den ersten Blick harmlos. Wir sollten aber den philosophischen Gehalt dieses Konzepts nicht unterschätzen. Wir brauchen den UV cut-off, um zu verhindern, dass die Entropie unendlich wird. Max Planck hat in seinem Strahlungsgesetz dasselbe durch die Quantisierung der Wirkung erreicht. Dies war auch schon eine kühne Idee, aber relativistisch in Ordnung. Denn die Wirkung ist unabhängig vom Inertialsystem. Beim UV cut-off handelt es sich aber um eine Länge und Längen sind bekanntlich abhängig vom Beobachter. Wenn wir also einen UV cut-off einführen, so führt uns dies zu einer Beobachter abhängigen Realität, was ein Widerspruch zu sein scheint. Wenn es also im folgenden scheint, die mathematischen Probleme bei der Vereinigung von Quantentheorie und Relativitätstheorie seien verschwunden, so dürfen wir nicht vergessen, dass wir diese Probleme hier mit dem UV cut-off abgeschnitten haben.


3.6. Jacobson: Die Einsteinschen Feldgleichungen

Nach dem Vorbild von Ted Jacobson schreibe ich nun den zweiten Haupsatz der Thermodynamik dQ = TdS mit den obigen Bezeichnungen neu (Jac 1). Die Idee ist: Wenn Energie dQ durch einen Horizont fällt, vergrössert sich die hinter dem Horizont befindliche Entropie, also auch die Horizontoberfläche. Dieser Zusammenhang zwischen Energie und Geometrie ist genau derjenige, der durch Einsteins Feldgleichungen beschrieben wird.

Betrachten wir noch einmal das Rindlerkoordinatensystem (Abbildung 3) und lassen wir diesmal eine kleine Energie dQ durch den Horizont fallen.

Abbildung 3 Jeder Punkt in der Grafik entspricht einer Ebene in der y/z Ebene. dA, hier als Punkt gezeichnet, ist also auch eine Flächeneinheit in der y/z Ebene. dl ist ein Stück einer lichtartigen Geodäte senkrecht durch dA. Wenn die Energie dQ einmal den Horizont überschritten hat, ist sie aus Sicht eines Rindler-Beobachters in R+ (blaue Linien) hinter dem kausalen Horizont verschwunden.

Ein kausaler Horizont S (gestrichelte Linien) ist ein dreidimensionales Gebiet in der Raumzeit. Es sei dA ein Stück des Raumanteils des Horizonts. Betrachten wir ein Bündel von Lichtstrahlen (Nullgeodäten), die senkrecht durch die Fläche dA gehen, so dass durch jeden Punkt von dA genau eine Nullgeodäte geht. Im gekrümmten Raum werden diese Lichtstrahlen im allgemeinen weiter gebündelt oder sie driften auseinander. Deshalb wird ein kleines Stück l später die Durchtrittsfläche grösser oder kleiner sein. Um die Flächenzunahme des ganzen Horizonts zu berechnen, muss ich über den ganzen Horizont S integrieren. Dabei ist ein Stück des Horizonts dS ein dreidimensionales Gebiet der Raumzeit:

wobei ka ein Tangentialvektor zu den Horizontgeneratoren ist. Über einen Horizont S integriert ergibt sich eine Veränderung dA:

Rab ist der Krümmungstensor, also ein Mass für die Krümmung. ka und kb sind Tangentialvektoren zu den Horizontgeneratoren. Wir betrachten nun eine kleine Energie dQ, die durch den Horizont S fällt. dQ kann ich wie folgt mit dem Energiedichtetensor Tab schreiben, indem ich über den Horizont integriere:

Wieder ist kbdldA = dSb das Element der Horizontoberfläche. a ist die Beschleunigung des Killingorbits, auf dem das Killingfeld auf 1 normiert ist.

Mit (8), (18), (23) and (24) können wir nun die Gleichung dQ =TdS neu schreiben. Wenn eine Energie dQ (24) mit der Unruh Temperatur T (8) durch einen Horizont fällt, erhöht sich die Entropie dS. Wegen (18) und (23) erhöht sich die Horizontoberfläche um dA:

Dies kann nur gelten, wenn:

für eine Funktion f. Weil Energie und Impuls lokal erhalten sein müssen, ist Tab divergenzfrei und mit der kontrahierten Bianchi Identität folgt, dass f = -R/2 + L für eine Konstante L. Mit anderen Worten, es gelten Einsteins Feldgleichungen:

Was habe ich gemacht?

  1. Ich habe irgendeinen Rindler-Horizont S betrachtet. Dieser kann irgendwo auch in einer flachen Raumzeit liegen, wenn ich einen entsprechend beschleunigten Beobachter wähle.
  2. Ich lasse durch diesen Horizont eine kleine Energie dQ fallen. dQ kann irgend eine Energieform sein, die durch den Energiedichtetensor beschrieben werden kann.
  3. Aus Sicht des Rindler-Beobachters verschwindet die Energie dQ hinter dem Horizont in einem thermischen Bad der Unruh-Temperatur. Da dQ klein ist, ist die Temperaturänderung dabei vernachlässigbar. Wenn der zweite Hauptsatz der Thermodynamik nicht verletzt sein soll, muss nach der Formel dQ = TdS die Entropie um dS anwachsen.
  4. Da kausale Horizonte bereits das Maximum an Entropie tragen, ist ein Anwachsen der Entropie immer mit einem Zuwachs der Horizontoberfläche verbunden. Die Rechnung zeigt, dass der zweite Hauptsatz der Thermodynamik nur erfüllt werden kann, wenn Einsteins Feldgleichungen gelten.

Achtung: Nachdem die Masse und die Energie dQ durch den Horizont gefallen ist, ist aus Sicht des aussen stehenden Beobachters alle Information Horizontentropie. Aus Konsistenzgründen muss daher auch die Energie und Materie innerhalb des Horizonts auf Verschränkung basieren. Wenn aber die gesamte Materie auf Verschränkung und auf der Krümmung der Raumzeit basiert, können wir nicht sagen, die Materie krümme die Raumzeit, sondern vielmehr: Die Krümmung der Raumzeit lässt reale Teilchen entstehen.


3.7. Von Weizsäcker / Görnitz: Die Information des Universums ist Horizontentropie

Die Annahme, die gesamte Information des Universums beruhe auf Verschränkung, ist im Prinzip überprüfbar. Denn wir können ja den Horizont des Universums und die darin enthaltene Information abschätzen. Dies haben C.F. von Weizsäcker und Thomas Görnitz getan (Lyr 1).

Unser Universum hat einen Radius von rund RU=1026m. Die Plancksche Länge lPl misst 1,616∙10-35 m. Nach der Formel für die Horizontentropie verursacht der Horizont unseres Universums also rund RU2/4lPl2 = 5.9∙10120 Qubit Information, bzw. Ure.

Mit dieser Information kann das Volumen des Universums im Prinzip in 5.9∙10120 gleiche Volumeneinheiten zerlegt werden, die die kleinsten Raumbereiche darstellen, in die der gesamte Kosmos noch zugleich zerlegt werden kann. Für den Durchmesser d eines solchen Volumenelements gilt dann: (2RU)3 / d3 ≈ 5.9∙10120, d ≈ 3.6∙10-14m, was ungefähr der Grössenordnung der Compton-Wellenlänge eines Nukleons entspricht, die 1.32∙10-15 misst. Um ein Nukleon im Universum zu lokalisieren, sind rund 3∙RU/d ≈ 1040 Ure nötig. Mit der vom Horizont verursachten Information können also rund 10120/1040 = 1080 Nukleonen lokalisiert werden. Dies entspricht tatsächlich der beobachteten Nukleonenzahl. Natürlich wird nicht die gesamte Information des Universums dazu verwendet, die Nukleonen zu lokalisieren. Es gibt ja auch andere Elementarteilchen. Aber es ist sinnvoll anzunehmen, dass die meiste Information für Nukleonen gebraucht wird. Denn die anderen bekannten Elementarteilchen kommen entweder viel seltener vor oder sie sind wegen ihrer geringeren Masse oder Energie über ein viel grösseres Gebiet ‚verschmiert‘. Leichte Teilchen brauchen daher viel weniger Information.

Diese grobe Abschätzung zeigt, dass die Horizontentropie zumindest von der Grössenordnung her der Entropie des Universums entspricht. Weitere Überlegungen und Abschätzungen findet man bei Thomas Görnitz (Gör 2).


3.8. Schlussfolgerungen zum Abschnitt Gravitation

Obwohl in der obigen Herleitung der Feldgleichungen praktisch jeder Schritt seit Längerem bekannt ist, zeigt die ‚Perlenkette‘ doch einige bedenkenswerte neue Möglichkeiten für die Weiterentwicklung der Physik. Insbesondere sollten wir die folgenden 3 Thesen in Betracht ziehen:
 

i. Gesucht ist nicht eine Quantengravitationstheorie, sondern vielmehr eine Mikrotheorie der Gravitationsthermodynamik.

In der obigen Herleitung ergeben sich Einsteins Gleichungen als Näherung im thermodynamischen Gleichgewicht. Wie schon Ted Jacobson feststellt, ist es unter diesen Umständen nicht angemessen, die Einsteinschen Gleichungen zu quanteln, so wie auch Schallwellen nicht gequantelt werden müssen.

Dagegen sollte es eine Mikrotheorie der Thermodynamik der Gravitation geben. Ähnlich, wie Boltzmann die Thermodynamik auf die Bewegung von Atomen zurückgeführt hat, sollte es möglich sein, die Dynamik der Raumkrümmung auf statistische Effekte zurückzuführen. In Boltzmanns Theorie sind es Teilchen, die miteinander interagieren. In einer Thermodynamik der Raumzeit wären die Protagonisten wohl Qubits, beziehungsweise die Horizontoberflächen, die nötig sind, um die Qubits eindeutig festzulegen. Diese Thermodynamik wäre wohl –wie der Unruh-Hawking Effekt- beobachterabhängig.

Vermutlich folgen aus einer solchen Mikrotheorie der Gravitation messbare Korrekturen zur bestehenden Theorie. Diese wären aber wohl nicht bei grossen Krümmungen auf engstem Raum sichtbar, wo sie nach den Ansätzen zur Quantengravitationstheorie zu erwarten wären. Vielmehr müssten wir sie dort suchen, wo das thermodynamische Gleichgewicht stark gestört ist.


ii. Die Vakuumenergie führt nicht zur Raumzeitkrümmung.

Ein Kernproblem bei der Vereinigung von Quanten- und Relativitätstheorie ist, dass die Vakuumsenergie nach aktuellen Theorien unendlich hoch sein und deshalb die Raumzeit bis zur Unkenntlichkeit zerreissen müsste. Dieser Schluss ist unvermeidlich, wenn wir die Gravitation mit den gleichen Mitteln wie die elektromagnetische Kraft beschreiben wollen. Wenn z. B. durch Vakuumfluktuationen ein virtuelles Elektron-Positron Paar in der Nähe einer realen negativen Ladung entsteht, wird das virtuelle Positron zur negativen Ladung gezogen, während das virtuelle Elektron abgestossen wird. Dadurch wird die negative Ladung abgeschirmt und gedämpft.

Man würde deshalb erwarten, dass ein virtuelles Teilchen-Antiteilchen Paar auch ein Gravitationsfeld beeinflusst, so wie es ein elektrisches Feld abschirmt. Da aber die Gravitation nur anziehend wirkt, hätten alle virtuellen Teilchen zusammen eine unendliche Energie und würden die Raumzeit unendlich verzerren und zerreissen.

Nach der obigen Herleitung kann das Vakuum aber die Raumzeit nicht krümmen. Die oft verwendete Veranschaulichung, mit dem Ball, der ein Gummituch dehnt und so weitere Kugeln ablenkt, ist irreführend. Besser sollten wir uns ein Gummituch vorstellen, das mit einer dünnen Lackschicht überzogen ist. Wenn das Gummituch gedehnt wird, bröckelt der Lack und wir sehen Teilchen. Wenn wir diese Lackteilchen dann über das Gummituch verschieben, verändern wir auch die Krümmung. Aber es ist die Krümmung, welche die Teilchen verursacht, nicht umgekehrt. Bei diesem Bild ist klar, dass das Vakuum die Raumzeit nicht krümmt, wie auch die Lackschicht den Gummi nicht krümmt.


iii. Für eine negative Krümmung der Raumzeit braucht es keine ‚dunkle Energie‘.

1998 zeigten Saul Perlmutter, Adam Riess und Brian Schmidt gestützt auf jahrelange Messungen, dass sich der Kosmos ausdehnt, dass es also auch negative Krümmungen der Raumzeit gibt. Diese Entdeckung ist mit Einsteins Formel nur vereinbar, wenn es eine exotische Form von Materie oder Energie gibt, die diese negative Krümmung hervorruft. In der Literatur wird diese exotische Energieform ‚dunkle Energie‘ genannt.

Ich habe zwar als Endresultat auch Einsteins Feldgleichungen erhalten. Ich bin aber von der konkreten Situation eines positiv gekrümmten Raumes ausgegangen. Die Teilchen entstehen nach Unruh-Hawking an Horizonten. Und Horizonte gibt es dort, wo eine positive Krümmung ist.

Nach Gauss sollten wir nicht überrascht sein, dass der Raum gekrümmt ist. Denn die meisten denkbaren Räume sind gekrümmt, aber es gibt nur einen flachen Raum. Nach dieser Sichtweise überrascht auch nicht wenn es negative Krümmungen gibt.

Es ist aber keineswegs klar, ob auch negative Krümmungen Teilchen entstehen lassen. Und falls negative Krümmungen Teilchen entstehen lassen, gibt es keinen Grund zur Annahme, dass dies völlig andere Teilchensorten sind als die bekannten.

Wir müssen also nicht nach Teilchen oder Feldern suchen, die eine negative Krümmung hervorrufen. Vielmehr müssen wir untersuchen, wie sich Quantenverschränkungen bei negativen Krümmungen verhalten, ob hier auch Teilchen entstehen und falls ja, welche. Dies müsste zu einer Korrektur der Feldgleichungen für den Fall negativer Krümmungen führen. Damit erscheint wohl auch die Möglichkeit von weissen Löchern und Wurmlöchern in einem anderen Licht.

 

 

 


4. Ein kurzer Ausblick

4.1. Geplante Abschnitte

Ich beschränke mich hier auf Stichworte einiger Erkenntnisse der Physik, die meiner Ansicht nach noch in diesen Text gehören.

Die Kernkräfte können wie die elektromagnetische Kraft als Eichtheorien abgeleitet werden. Die Herleitung ist mathematisch schwieriger, weil es sich um nichtabelsche Theorien handelt. Ich erwarte hier keine Schwierigkeiten.

Die Analyse der elektroschwache Kraft führt zum Higgs-Mechanismus. Diese sogenannte spontane Symmetriebrechung zeigt etwas Wichtiges: Es gibt Teilcheneigenschaften, wie z. B. Teilchenmassen oder Ladungen und Konstanten, deren exakter Wert nicht aus der Theorie abgeleitet werden können. Sie werden durch spontane Symmetriebrechung festgelegt. Nach meinem Modell kommen bei dieser Symmetriebrechung alle möglichen Resultate in verschiedenen Welten zustande.

Weshalb gibt es drei Teilchengenerationen?
Ich vermute, dass dies irgendwie damit zusammenhängt, dass es drei Pauli-Matrizen gibt. Ein verheissungsvoller Ansatz scheint mir der von Carl Brannen: Spin Path Integrals and Generations. Es scheint, dass wir nicht nur die Anzahl Teilchenfamilien, sondern auch die Massenverhältnisse vorhersagen können.


 

 

 

 

 

 

 

4.2. Offene Fragen

Die Links-/rechts-Asymmetrie bei der schwachen Kraft ist noch nicht erklärt. Möglicherweise ergibt sich diese durch spontane Symmetriebrechung. Ähnlich, wie gewisse Austauschteilchen bei der Symmetriebrechung exakt Masse null erhalten, könnten gewisse Teilchen von der Kopplung der schwachen Kraft ausgeschlossen sein. Eine andere Erklärung wäre, dass die Entstehung der schwachen Kraft mit der Händigkeit der Teilchen zusammen hängt.

Die spannendsten Fragen sind wohl:
Gibt es nach meinem Modell Vorhersage, die in der Natur nicht beobachtet werden können?
Gibt es in der Natur Dinge gibt, die nicht in meinem Modell vorkommen?
Die Klärung dieser Fragen setzt eine präzise und aufwändige mathematische Analyse voraus, die ich nicht leisten kann.

 

 

 


6. Ergänzende Literatur

Die obigen Überlegungen sind inspiriert von Abhandlungen zur Urtheorie (Lyr 1), (Cas 1), (Wei 2), die mathematisch exakter ausformuliert sind. Allerdings haben diese Werke den Nachteil, dass sie in verschiedenen Punkten willkürlich sind. Die Leute, die heute an der Urtheorie arbeiten, wissen aus der heutigen Physik, wie die Naturgesetze sind. Sie versuchen deshalb, mit den Begriffen der Urtheorie diese Naturgesetze zu herzuleiten. Wie bei den Stringtheorien gibt es dabei immer wieder verschiedene Möglichkeiten, was einen enormen Aufwand bedeutet. Bei meinem Projekt habe ich nie eine Wahl. Es gibt -bis auf Äquivalenz- immer nur einen Weg, null Information darzustellen. Wenn ich auf diesem Weg scheitere, ist das ganze Projekt gescheitert, bzw., dann weiss ich eben, dass es in unserem Universum Willkür geben muss, was ja auch schon eine bedeutende Erkenntnis wäre.
 

Bemerkenswert ist auch die Arbeit von Roy Frieden (Fri 1), der die Physik aus Fisher-Information herleitet.

 

 

 

 

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