Dies der Anhang 5 zum Artikel Wie ist die Welt entstanden?, in dem ich erkläre, weshalb es überhaupt eine Welt gibt. Der folgende Text wird möglicherweise nur in diesem Zusammenhang verständlich.

Welche Teilchen passen in unser Universum?

Philipp Wehrli, 6. Januar 2010, überarbeitet am 2. Dezember 2010

1. Teilchen und ihre Eigenschaften

Der Raum der Aussagenpaare hat also dieselben Eigenschaften wie die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie und die Raumzeit hängt über Fouriertransformationen mit dem Energie-Impulsraum zusammen. Die bisher betrachteten Aussagenpaare nenne ich primäre Aussagenpaare. Diese Aussagen sind weder wahr noch falsch, denn nirgends im Universum gibt es Information, die festlegen könnte, was wahr oder falsch ist. Die Aussagenpaare liegen als Möglichkeiten vor.

Anlass zu den Fouriertransformationen waren Aussagen über die primären Aussagenpaare, also sekundäre Aussagen, d. h. komplexe Zahlen, die den Punkten in der Raumzeit zugeordnet werden. Weil es im Universum als Ganzem keine Information gibt, sind alle sekundären Aussagen gleichermassen möglich. Es gibt also über dem Raum der Aussagenpaare komplexwertige Funktionen. Wenn wir Aussagenpaare über dem Raum der Aussagenpaare betrachten, so hätten wir nicht einfach komplexwertige Funktionen, sondern wir würden jedem Punkt der Raumzeit eine hermitesche Matrix zuordnen. Auf die Bedeutung dieser Aussagenpaare werde ich später eingehen. Hier stelle ich einfach einmal fest, dass solche Funktionen ganz natürlich zum Raum der Aussagenpaare gehören.

In diesem Anhang werde ich zeigen, dass diese Funktionen gerade den Teilchen mit genau den Eigenschaften entsprechen, die wir aus der Teilchenphysik kennen.

Man könnte denken, die Raumzeit sei eine leere Bühne und nirgends sei festgeschrieben, welche Arten von Teilchen über diese Bühne wandeln können. So ist es aber keineswegs. Im Gegenteil können nur gerade die Sorten von Teilchen auftreten, die wir aus der Physik kennen. Diese höchst erstaunliche und aufregende Tatsache entdeckte Eugen Wigner. Es ist mir unverständlich, weshalb sie in populärwissenschaftlichen Schriften praktisch nie erwähnt wird: Die Raumzeit, so wie wir sie kennen, definiert in sehr engem Rahmen, welche Sorten von Teilchen vorkommen können. Da die Raumzeit äquivalent ist zum Raum der Aussagenpaare, gilt hier natürlich der gleiche Satz. Der Grund dafür ist der folgende:

Wenn ich in der Raumzeit das Koordinatensystem wechsle, also eine Poincarétransformation durchführe, werde ich im neuen Koordinatensystem manche Objekte anders beschreiben.

Für jedes Objekt ist definiert, ob und wenn ja wie es sich bei solchen Transformationen verändert. Zur Poincaré-Transformation A gibt es eine Umrechnungsvorschrift T_A, die beschreibt, wie sich das Objekt bei dieser Transformation verändert. Ebenso gibt es zur Poincaré-Transformation B eine Umrechnungsvorschrift T_B. Die zwei Umrechnungsvorschriften T_A und T_B hintereinander ausgeführt müssen gerade die Umrechnungsvorschrift T_C für die zusammengesetzte Transformation C ergeben.
 

Durch diese Bedingung, wie sich hintereinander getätigte Transformationen zueinander verhalten müssen, ist die Möglichkeit, wie Teilchen überhaupt sein können, stark eingeschränkt. Die Abbildungj, welche die Poincaré-Transformationen auf die entsprechenden Umrechnungsvorschriften mit diesen Eigenschaften abbildet, nennt man eine Darstellung der Poincarégruppe. Beachte, dass j auch surjektiv sein kann, d. h. dass T_A = T_B sein kann, obwohl A ungleich B ist. Dies ist z. B. bei der trivialen Darstellung der Fall, die einfach alle Transformationen auf die 1 abbildet.

Die Darstellungstheorie zeigt, dass die Objekte, die sich bei Poincaré-Transformationen nach dieser Regel transformieren, durch vier Eigenschaften charakterisiert werden: Einen Energie-Impulsvektor p=(E/c, p), darin enthalten die Ruhemasse m, einen Spin s und eine sogenannte Spinkomponente m_s. In einer Raumzeit, in der die spezielle Relativitätstheorie gilt, sind Teilchen durch die vier Eigenschaften p, m, s und m_s charakterisiert. Zu diesen Eigenschaften können noch weitere hinzukommen, wie etwa die Ladung.

2. Die Ruhemasse

Wir können jedem Energie-Impulsvektor (E, p_x, p_y, p_z) eineindeutig eine hermitesche Matrix zuordnen:
 

Hier sind die s^k die Paulimatrizen und 1 die Einheitsmatrix. Hermitesch bedeutet, dass die Matrix als Linearkombination mit der Paulimatrizen und der Einheitsmatrix aufgebaut werden kann. Bei einer Lorentztransformation bleibt die Determinante dieser Matrix unverändert:

det P = E² - c²p_x² - c²p_y² - c²p_z²

Ich definiere:

m² := (E² - c²p_x² - c²p_y² - c²p_z²) : c⁴

Die Ruhemasse m bleibt bei Lorentztransformationen unverändert, und das ist es, was sie so wichtig macht. Übrigens ist dies Einsteins berühmte Gleichung:

E² - c²p_x² - c²p_y² - c²p_z² = m²c⁴

Einstein interessierte sich für die Energie im Ruhesystem, er hat also den Impuls null gesetzt. Das ergibt zwei Lösungen:

E = + mc²
und
E = - mc²

Weil nicht klar ist, was eine negative Energie oder eine negative Masse sein soll, hat er ausserdem das negative Vorzeichen weggelassen.

Für uns ist m vorerst einfach eine Konstante. m verändert sich bei Poincaré-Transformationen überhaupt nicht, es ändert sich also auch nicht, wenn wir zwei Transformationen T_A und T_B hintereinander ausführen:

T_B * T_A = T_C.

Die Frage ist nun: Welche Eigenschaften sind unabhängig vom Bezugssystem? -Gesucht sind also zunächst einmal Aussagenpaare, die stets die gleiche Wirkung zeigen, unabhängig davon, ob sie vor oder nach einem anderen Aussagenpaar gemacht werden. Diese Aussagenpaare werden in der Mathematik Casimiroperatoren genannt. Die Eigenwerte der Casimiroperatoren sind unabhängig vom Bezugssystem. Durch sie werden die Elementarteilchen charakterisiert.

In der sogenannten Darstellungstheorie kann man zeigen, dass es in der Raumzeit zwei Typen von Teilchen geben kann. Erstens kann es Teilchen mit halbzahligem Spin geben, die sich wie Materieteilchen verhalten. Sie haben eine Masse und zu jedem dieser Teilchen gibt es ein Ruhesystem, in dem dieses Teilchen die Geschwindigkeit null hat. Zweitens kann es Teilchen mit geradezahligem Spin geben. Sie bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit und haben keine Massen. Wenn zwei Teilchen mit halbzahligem Spin kombiniert werden, kann es sein, dass auch ein Teilchen mit ganzzahligem Spin eine Masse hat.

3. Spin s undSpinkomponente m_s

Der Spin s und die Spinkomponente m_s folgen bereits aus der Darstellungstheorie der Drehgruppe SO(3) bzw. SU(2,C).

Dabei muss der Spin s ein ganzzahliges Vielfaches von 1/2  sein:

s ist aus {0, 1/2, 1, 3/2, 2, ...}

und

m_s ist aus {-s, -s+1, ..., s}

Beispiel s=1/2

Für ein Teilchen mit s = 1/2 gibt es zwei elementare Zustände, nämlich m_s=-1/2 oder m_s=1/2. Das Teilchen wird deshalb als zweiwertiger Vektor mit diesen beiden Komponenten dargestellt. Bei einer Poincaré-Transformation verändert sich dieser zweikomponentige Vektor, und die Veränderung wird durch eine komplexe 2x2 Matrix definiert.

Zu jeder Drehung J₁, J₂ und J₃ gehört eine Matrix J₁, J₂ oder J₃, welche die Veränderung des Teilchenzustandes beschreibt.

Die J₁, J₂ oder J₃ entsprechen gerade den Pauli-Matrizen s₁, s₂ und s₃ multipliziert mit einem Faktor 1/2.
 

Aus diesen elementaren Drehungen kann jede beliebige Drehung zusammengesetzt werden.
 

Beispiel s=1

Ein Teilchen mit Spin 1 kann in drei elementaren Zuständen sein, nämlich m_s=-1, m_s=0 oder m_s=1.

Ein Teilchen mit Spin 1 wird deshalb durch einen dreiwertigen Vektor beschrieben. Zu den Drehungen J₁, J₂ und J₃ gehören die 3x3 Matrizen J₁, J₂ und J_3.
 

Das heisst: Es kann in der Raumzeit bzw. im Raum der Aussagenpaare Objekte geben, die wie Teilchen mit halb- oder ganzzahligem Spin transformieren.

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