Dies der Anhang 6 zum Artikel Wie ist die Welt entstanden?, in dem ich erkläre, weshalb es überhaupt eine Welt gibt. Der folgende Text wird möglicherweise nur in diesem Zusammenhang verständlich.

Die Herleitung der Klein-Gordon-Gleichung

Philipp Wehrli, 7. Januar 2010, überarbeitet am 2. Dezember 2010

In diesem Abschnitt werde ich zeigen, dass im Raum der Aussagenpaare die Klein-Gordon gilt. Diese Gleichungen beschreibt relativistisch und quantentheoretisch exakt, wie sich masselose Teilchen, also z. B. Photonen, in der Raumzeit bewegen. Die Herleitung ist zwar etwas technisch, aber die Gleichungen folgen völlig natürlich aus den obigen Grundlagen. Es braucht also keinen kreativen Akt oder eine besondere Idee, um diese so wichtigen Gleichungen herzuleiten.

In allen vier Dimensionen lautet die Fouriertransformation von der Raumzeit in den Energie-Impuls Raum:
 

Und umgekehrt:

r steht hier für alle drei Koordinaten x, y und z. Wenn ich diese Funktion nach der Zeit ableite, erhalte ich:
 

Mit der Definition E := w * h/2p

Die Funktion y ordnet jedem Aussagenpaar, also jedem Punkt der Raumzeit eine Aussage zu. Die obige Gleichung sagt: Wenn ich y nach t ableite, erhalte ich das gleiche, wie wenn ich auf jede dieser Aussagen die Aussage E wirken lasse, multipliziert mit dem Faktor -i2p/h.

Eine Ableitung nach x ergibt:
 

mit p_x := k_x * h/2p. Analog in y- und z-Richtung.

Wenn ich eine Wellenfunktion mit dem Impuls p oder der Energie multiplizieren muss, kann ich also stattdessen auch die räumliche, bzw. die zeitliche Ableitung der betreffenden Wellenfunktion bilden und den konstanten Faktor ih/2p davor setzen:
 

Sofern E und p nicht von der Zeit abhängen, erhalte ich aus den zweiten Ableitungen nach der Zeit und nach dem Ort E², bzw. p² mit entsprechenden Vorfaktoren. Mit diesen sogenannten 'Operatoren' geschrieben, lautet die in Anhang 5 hergeleitete 'Einsteinsche' Gleichung:

E² = m²c⁴ + c²p_x² + c²p_y² + c²p_z²
 

Dies ist die Klein-Gordon-Gleichung.

Die Klein-Gordon Gleichung für m=0 wird sich gerade als die Wellengleichung für das elektromagnetische Feld entpuppen.

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