Dies der Anhang 8 zum Artikel Wie ist die Welt entstanden?, in dem ich erkläre, weshalb es überhaupt eine Welt gibt. Der folgende Text wird möglicherweise nur in diesem Zusammenhang verständlich. Eine einfache Erklärung, was die Maxwell-Gleichungen aussagen, findet man hier.

Die Eichfreiheit der Phase führt zur elektromagnetischen Kraft

Philipp Wehrli, 15. März 2010

1. Was bedeutet die Eichung der Phase?

Wie bereits im Haupttext erklärt, müssen die Aussagenpaare geeicht werden. Der Raum der Aussagenpaare, also die Gruppe der hermiteschen Matrizen entspricht dem Einsteinkosmos. Bei der Eichung wird dieser Raum verzerrt, was zu Kräften führt. Jede hermitesche Matrix M kann zerlegt werden in einen 'Streckfaktor' (det M)^-1/2, also eine komplexe Zahl, multipliziert mit einer Matrix N aus SU(2, C):

N=[as_x + bs_y + cs_z]:

a, b und c sind reelle Zahlen. Also

M=(det M)^-1/2 [as_x + bs_y + cs_z]

An dieser Zerlegung sind verschiedene Faktoren willkürlich gewählt und müssen geeicht werden. In diesem Anhang zeige ich, wie die Eichung der Phase von det M^-1/2 die elektromagnetische Kraft bewirkt.

Die Phase des Streckfaktors ist (det M)^-1/2 : |(det M)^-1/2| =: e^ij. So wie das Null- und das Einselement geeicht werden müssen, muss auch der Nullpunkt des Phasenwinkels j geeicht werden. Beim Auftragen der komplexen Zahlenebene frei bin, in welche Richtung ich die reelle und in welche Richtung ich die komplexe Achse zeichne. Die Eichung des Phasenwinkels entspricht einer Drehung der komplexen Ebene, die von Ort zu Ort unterschiedlich sein kann.
 

Abbildung: Es ist willkürlich, in welche Richtung die imaginäre Achse gezeichnet wird. In welche Richtung die Phase einer komplexen Zahl null ist, muss definiert werden. Die Mathematik mit gedrehter komplexer Ebene gehorcht ebenfalls den gleichen Axiomen wie unsere Mathematik.

2. Elektrische Kraft durch Eichung der Phase

Ich habe oben behauptet, die Lösungen der Diracgleichung Y(t, x, y, z) seien stetig, ohne genau zu erklären, was dies bedeutet. Stetig bedeutet, je näher zwei Punkte (t₁, x₁, y₁, z₁) und (t₂, x₂, y₂, z₂) beieinander liegen, desto näher liegen auch die komplexen Zahlen beieinander, welche die Funktion Y den beiden Punkten zuordnet. Oder anschaulich: Wenn ich in der Raumzeit herumgehe und die komplexen Zahlen anschaue, dann gibt es keine Sprünge, sondern die komplexen Zahlen verändern sich fliessend.

Eine wichtige Frage ist nun, wie stark sich die komplexen Zahlen ändern, während ich durch die Raumzeit gehe. Gefragt ist also nach den Ableitungen:

Diese Ableitungen sind aber gar nicht eindeutig definiert. Denn wie bereits festgestellt, besteht eine gewisse Willkür in der Wahl der Koordinatenachsen der komplexen Zahlen. Die komplexen Zahlen sind nur auf Isomorphie festgelegt. Angenommen, ein Aussagepaar A liege gleich neben einem Aussagepaar B und eine Aussage a beziehe sich auf A und eine Aussage b auf B. Dann werden zwar beide Aussagen a und b als komplexe Zahlen ausgedrückt. Aber dennoch kann ich diese Zahlen nicht direkt miteinander vergleichen, weil sie nicht im gleichen Achsenkreuz definiert sind. Weil die Wahl des Achsenkreuzes der komplexen Zahlen mit einer gewissen Willkür behaftet ist, kann es sein, dass das Achsenkreuz bei A gegenüber dem bei B verdreht ist.

So wie die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie die Gravitationskraft verursacht, verursacht die Verdrehung der Achsenkreuze der komplexen Zahlen die elektromagnetische Kraft. Wie geht dies?

Wir gehen von den Wellen Y(t, x, y, z) = A e^{2pi/h(-Et + px + py + pz)} aus. Wenn ich alle Achsenkreuze gleichzeitig um den gleichen Faktor drehe, bedeutet dies, dass ich vor jede komplexe Zahl einen Phasenfaktor e^ij stelle:

e^ij Y(t, x, y, z) = A e^ij e^{2pi/h(-Et + px + py + pz)}

Wenn a überall in der Raumzeit gleich ist, ändert sich an den Ableitungen der Wellengleichungen nichts, und damit bleiben auch die Bewegungsgleichungen unverändert.

Was geschieht aber, wenn der Phasenfaktor vom Ort und von der Zeit abhängt, wenn also die Achsenkreuze nicht an jedem Punkt der Raumzeit gleich ausgerichtet sind? -Nehmen wir also an: j = j(t, x, y, z). Die phasentransformierten Wellenfunktionen seien:

Y' = e^ijY
Dies in die Dirac Gleichung eingesetzt, ergibt:
 

e^ij wegkürzen und umstellen führt auf die (provisorische) Dirac Gleichung:

Man sieht sofort, dass die Ableitungen des Phasenfaktors dj/dt, dj/dx_i  die gleiche Wirkung haben, wie eine Veränderung der Masse: Die Wellenlänge verändert sich, bzw. die Welle dreht sich mit einer anderen Winkelgeschwindigkeit in der komplexen Ebene.

Mit dieser Motivation definiere ich das Potential F:

g ist eine Konstante, die die Einheiten umrechnet. Wir können g=1 setzen, wie dies von Physikern häufig gemacht wird.

Weiter definiere ich das Vektorpotential A_i:

Das Potential F und das Vektorpotential A_i verändern also die Wellenlängen und zwar in Abhängigkeit der Drehrichtung der Wellenfunktion. Solange die Wellenlänge einer Welle überall gleich ist, hat dies keine keine Ablenkung zur Folge. Erst ein Gradient des Potentials oder eine zeitliche Änderung des Vektorpotentials lenken die Welle ab, was wir als Kraft wahrnehmen.

Daher definiere ich das elektrische Feld E_i als:

Die Dirac-Gleichung führt mit diesen Bezeichnungen zur bekannten elektromagnetischen Kraft qE_i = F_i. Bemerke: Gradientenfelder sind wirbelfrei. D. h. es kann keinen magnetischen Monopol geben! Allerdings verschleiert diese Schreibweise die Ursache der Kraft, die in der Drehung der Phase liegt. Im Kapitel Coulombkraft anschaulich zeige ich, worauf die Kraft beruht.

Ich stelle nun vier Gleichungen auf, die gleich aussehen wie die Maxwell Gleichungen. Und ich nenne diese Gleichungen auch Maxwell Gleichungen. Dennoch werde ich später noch beweisen müssen, dass sie wirklich die Maxwell Gleichungen sind. Der Haken an meiner Herleitung ist nämlich der folgende: Ich definiere die Ladungs- und die Stromdichte sowie das Magnetfeld so, dass gerade die Maxwell Gleichungen dabei herauskommen. In Maxwells Theorie steht aber nirgends, dass ein elektrisches Feld auf eine Ladung eine Kraft ausübt.

Es ist leicht zu zeigen, dass das von mir definierte elektrische Feld die von der Wellenfunktion beschriebenen Teilchen ablenkt. Ich muss aber noch zeigen, dass das, was ich jetzt dann gleich als Ladung definieren werde, tatsächlich durch so eine Wellenfunktion beschrieben wird.

3. Die Maxwell Gleichungen

Die Eichung der Phase wird durch das Eichfeld j beschrieben. In der herkömmlichen Physik wird dieses Eichfeld als mathematischer Trick angesehen, dem keine physikalische Realität zukommt. In meinem Modell ist es durchaus real, wenn auch nicht direkt beobachtbar. Ich frage deshalb, wie sich das j Feld durch die Raumzeit fortpflanzt.

Wie bereits diskutiert, wird die Ausbreitung von Feldern entweder durch die Dirac-Gleichung beschrieben:

oder durch die Klein-Gordon Gleichung:

In meinem Modell kommen zwar durchaus auch andere Felder vor. Wenn das Universum als ganzes null Information enthalten soll, müssen sogar alle möglichen Felder auch tatsächlich verwirklicht sein. Ich behaupte aber, dass die meisten davon nicht sichtbar sind, weil sie orthogonal auf meinem Zustand stehen. Dies habe ich bis jetzt zwar plausibel gemacht, aber eine exakte Begründung für diese wichtige Annahme folgt erst in einem späteren Abschnitt zur Dekohärenz.

Hier zeige ich zunächst nur, dass es in meinem Modell Wellen gibt, die sich wie elektromagnetische Wellen verhalten, also wie Licht, Wärmestrahlung, Radiowellen etc. Diese ergeben sich gerade aus der Klein-Gordon Gleichung für masselose Teilchen:

Man beachte, dass j nicht das elektromagnetische Feld ist, für das ebenfalls die masselosen Klein-Gordon Gleichung gelten wird. Damit erhält man die sogenannte Lorentzbedingung:

wobei Am der Vierervektor (F, A_x, A_y, A_z) ist.

Physikalisch gesehen ist die Lorentzbedingung eine Strömungsgleichung. Wenn in einem gegebenen Volumen das Potential abnimmt oder zunimmt, dann liegt dies daran, dass aus diesem Volumen etwas hinaus- oder etwas in dieses Volumen hineinfliesst.

Ich zeige nun, dass die Maxwell Gleichungen bereits in meinem Modell enthalten sind, wenn die Ladungs- und Stromdichte geeignet definiert werden. Mit einer Konstanten e₀, die lediglich die Einheiten anpasst, definiere ich die Ladungsdichte r = Q/V:

Nach Integration ergibt dies das Gesetz von Coulomb:

Achtung: Ich habe oben zwar gezeigt, dass das E-Feld bestimmte Wellen ablenkt, so wie Ladungen bekanntlich abgelenkt werden. Ausserdem habe ich hier “Ladungen” definiert, die dem Coulomb-Gesetz folgen. Ich habe aber noch nicht gezeigt, dass die “Ladungen” hier auch tatsächlich durch die Wellenfunktionen beschrieben werden. Ich werde zeigen müssen, dass das Coulomb Gesetz, das ich hier aufgeschrieben habe, auch tatsächlich eine Kraft beschreibt und nicht nur irgendein Feld.

Weiter definiere ich das magnetische Feld B:

Aus der Definition von B folgt unmittelbar die 2. Maxwell Gleichung:

Denn weil jedes Wirbelfeld rot A quellenfrei ist, gilt für jedes Vektorfeld:

Mit einer etwas aufwändigeren Rechnung kann man auch die 3. Maxwell Gleichung herleiten:

Die grau untermalten Terme einer Zeile kürzen sich jeweils gegenseitig weg. Es bleibt die 3. Maxwell Gleichung:

Für die 4. Maxwell Gleichung definiere ich die Stromdichte analog zur Ladungsdichte in der 1. Maxwell Gleichung:

Hier und nur hier brauche ich nun die Lorentzbedingung. Denn mit dieser kann aus der obigen Gleichung die bekannte 4. Maxwellsche Gleichung hergeleitet werden:

Die Herleitung findet man bei (Fey 4) in Kapitel 18-6, allerdings in umgekehrter Richtung.

Wie bereits erwähnt, muss ich als nächstes zeigen, dass die oben definierten Ladungen durch die Diracgleichung beschrieben werden. Denn nur dann werden sie durch das elektrische Feld abgelenkt. Es ist bekannt und einfach zu zeigen, dass die Maxwell Gleichungen elektromagnetische Wellen beschreiben, die der masselosen Klein-Gordon Gleichung folgen.

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