Dies der Anhang 3 zum Artikel Wie ist die Welt entstanden?, in dem ich erkläre, weshalb es überhaupt eine Welt gibt. Der folgende Text wird möglicherweise nur in diesem Zusammenhang verständlich.

Die Lorentztransformationen

Philipp Wehrli, 4. Januar 2010, überarbeitet am 2. Dezember 2010

1. Koordinatentransformationen

Nun können Aussagenpaare auf Aussagenpaare wirken. Diese sekundären Aussagen verändern die Koordinaten. Die Frage ist: Was darf ich an den Koordinaten (oder am Raum) ändern, wenn die Abstände zwischen allen Punktepaaren unverändert bleiben sollen?

In der bekannten Geometrie im dreidimensionalen euklidischen Raum bleiben die Abstände unverändert, wenn ich den ganzen Raum drehe oder spiegle oder wenn ich den ganzen Raum parallel verschiebe. Die Menge der Drehungen und Spiegelungen des dreidimensionalen Raumes bilden die sogenannte orthogonale Gruppe O(3). Wenn die Spiegelung des Raumes ausgeschlossen werden soll, heisst die Gruppe die spezielle orthogonale Gruppe SO(3).

Im 3+1 dimensionalen Raum der Relativitätstheorie ist es ähnlich. Allerdings verlangt man hier nicht, dass die Abstände im Raum erhalten bleiben, denn die Abstände werden bekanntlich in Fahrtrichtung gestaucht. Erhalten bleiben soll aber das Linienelement ds:

ds = (dt² - dx² - dy² - dz²)^1/2.

dt, dx, dy und dz sind kleine Abstände in der Zeit, bzw. in der x-, y- oder z-Richtung. Die räumlichen Abstände kommen im Linienelement mit einem Minuszeichen vor, weil es sich hier um die Minkowski-Metrik handelt.

Die Transformationen, die das Linienelement erhalten, nennt man Poincarétransformationen (Sexl/Urbantke 'Relativität Gruppen Teilchen' S. 41). Wenn wir nur die homogenen Poincarétransformationen betrachten, also die Translationen ausschliessen, reden wir von den Lorentztransformationen. Das heisst, wenn bei einer Lorentztransformation ein konstanter Term hinzugezählt wird, erhält man eine Poincarétransformation.

Die Lorentztransformationen sind erstens die Drehungen im Raum um die drei Koordinatenachsen: J₁, J₂ und J₃ und zweitens die 'Boosts' K₁, K₂ und K₃, also die Geschwindigkeitstransformationen, welche die Zeitdilatation und Lorentzkontraktion beschreiben. K₁ beschreibt z. B. die Situation eines in x-Richtung fahrenden Zuges. Wenn ich ein Experiment statt auf dem Perron im Zug drin beschreiben will, muss ich alle Bestandteile des Experimentes zuerst mit der Matrix K₁ transformieren. Wie dies genau geschieht, werde ich unten an einem Beispiel vorrechnen. Jede Lorentztransformation kann durch eine Kombination dieser Drehungen und Boosts beschrieben werden. Allerdings können die Matrizen nicht einfach addiert werden, wie übrigens auch die Drehungen im dreidimensionalen Raum nicht einfach addiert werden können (Sex 5).

2. Was bedeutet dies nun in der Menge der Aussagenpaare?

In ähnlicher Weise will ich nun Koordinatentransformationen in der Menge der Aussagen suchen, welche das Wesentliche der Aussagen nicht ändern. In der Alltagssprache kann ich z. B. statt der Frage: "Kommst du heute ins Kino?" ebenso gut fragen: "Kommst du heute nicht ins Kino?" -Vom logischen Standpunkt aus bedeutet die Frage dasselbe, den psychologischen Beiklang klammern wir hier aus. Obwohl die beiden Fragen gleichwertig sind, sehen die Aussagenpaare dazu genau umgekehrt aus. Eine solche Verschiebung darf daher nur dann vorgenommen werden, wenn alle Beteiligten davon wissen. Wenn der Gefragte eine andere Frage im Kopf hat als der Frager, gibt es Verwirrung.

Mit dieser Motivation erlaube ich, dass der ganze Raum der Aussagenpaare verschoben wird, wobei aber die Aussagen nicht verzerrt werden dürfen.  Auch im Raum der Aussagenpaare haben wir ja ein Linienelement definiert, nämlich
ds = detM^1/2 =(dt² - dx² - dy² - dz²)^1/2
Die Frage ist: Wie kann ich alle Aussagenpaare gleichzeitig in eine andere Sprache übersetzen, ohne die Struktur des Raumes der Aussagenpaare zu verzerren? In der Sprache der Matrizen: Wie kann ich die Menge der hermiteschen Matrizen ändern, ohne das Linienelement ds zu verändern?

Die Transformationen, die das Linienelement nicht ändern, sind gerade die Lorentztransformationen. Alle Aussagenpaare in eine andere Sprache übersetzen, ohne die Struktur zu verzerren, bedeutet also in ein anderes Inertialsystem umzurechnen. Dabei gelten die Gesetze der speziellen Relativitätstheorie, also die Lorentztransformationen.

Im Folgenden zeige den mathematischen Hintergrund dieser Idee. Inhaltlich kommt hier aber nichts weiteres.

3. Von der SL(2, C) zur Lorentz-Gruppe

Die Gruppe der Aussagenpaare ist also die Gruppe der hermiteschen Matrizen. Ich nenne diese Gruppe den Raum der Aussagenpaare. Ich suche nach der Menge aller Abbildungen, die die Abstände im Raum der Aussagenpaare nicht ändern, die also das Linienelement
ds = detM^1/2
nicht ändern. Diese Abbildungen werden gegeben durch die Gruppe SL(2, C), die Gruppe der komplexwertigen 2x2 Matrizen mit Determinante 1.

Um eine Matrix aus SL(2, C) zu definieren, muss ich drei komplexe Zahlen angeben. Die vierte kann ich berechnen, weil die Determinante 1 sein muss. Jede dieser komplexen Zahlen besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil, sie ist also durch zwei reelle Zahlen definiert. Das heisst, jede Matrix aus SL(2, C) kann durch eine Kombination von sechs einfacheren Matrizen aufgebaut werden, die man die Erzeugenden von SL(2, C) nennt. Normalerweise wählt man:

J_i = 1/2s_i,   K_i = i/2s_i

wobei die s_i = s_x, s_y, s_z die Pauli-Matrizen sind. Ausgeschrieben ergibt sich:

Bemerkenswerterweise kann man jeder dieser Matrizen eine der oben erwähnten Lorentztransformation zuordnen (Details siehe im externen Link: Baade, Müllers, Wuttke). Den Matrizen J₁, J₂ und J₃ entsprechen die Drehungen J₁, J₂ und J₃ im Raum um die drei Koordinatenachsen, den K₁, K₂ und K₃ die 'Boosts' K₁, K₂ und K₃, also die Geschwindigkeitstransformationen, welche die Zeitdilatation und Lorentzkontraktion beschreiben. Jede Lorentztransformation kann durch eine Kombination dieser Drehungen und Boosts beschrieben werden, genau so, wie jede Matrix W aus SL(2, C) durch eine Linearkombination J₁, J₂, J₃, K₁, K₂ und K₃ aufgebaut werden kann.

Das Entscheidende dabei ist: Wenn ich die Erzeugenden der SL(2,C), also J₁, J₂, J₃, K₁, K₂ und K₃ miteinander multipliziere oder sie addiere, verhalten sie sich genau gleich wie die J₁, J₂, J₃, K₁, K₂ und K₃ , die Erzeugenden  der Lorentzgruppe. Mathematiker sagen: "Die beiden Gruppen haben die gleiche Algebra." Multiplikation bedeutet das Hintereinander zweier Drehungen, bzw. Boosts. Man beachte, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist. Addition bedeutet eine Drehung um eine Achse, die zwischen den zwei Achsen der Summanden liegt. Die Addition ist kommutativ.

Jedem Aussagenpaar, das den Raum der Aussagenpaare nicht verzerrt, entspricht eine Lorentztransformation, aber jeder Lorentztransformation entsprechen zwei Aussagenpaare. Wie die Umrechnung genau funktioniert, zeige ich Im folgenden Abschnitt.

4. Umrechnung von SL(2, C) in eine Lorentztransformation

(siehe im externen Link: Baade, Müllers, Wuttke):

Da die Matrix W aus SL(2, C) sein soll, muss det W = 1 sein. Es ist also nicht jede Linearkombination von J_k und K_k erlaubt, sondern nur W, die geschrieben werden können als:

Wie sieht nun die zu W gehörende Lorentztransformation aus? Gegeben sei ein Aussagenpaar in Form der Matrix P aus SL(2, C):

Hier sind die s^k die Paulimatrizen und 1 die Einheitsmatrix.

Die zu W gehörende Lorentztransformation lautet:

t(W)P = WPW^-1 = t(-W)P

In vielen Lehrbüchern steht hier statt W^-1 die zu W adjungierte Matrix W⁺. Wegen Det W = 1 ist W⁺ = W^-1. Mit meiner Schreibweise sieht man besser, woher die Transformation WPW^-1 überhaupt kommt. P ist ein Aussagenpaar, das auf irgendein anderes Aussagenpaar wirkt. Statt P zu verschieben, verschiebe ich mit W^-1 den gesamten Raum der Aussagenpaare in die entgegen gesetzte Richtung, lasse dann P wirken und verschiebe schliesslich mit W den Raum der Aussagenpaare wieder zurück. Man beachte, dass bei der Matrizenmultiplikation WPW^-1 zuerst W^-1, dann P und zuletzt W zum Zuge kommt.

Ein Boost in z-Richtung wird in SL(2, C) geschrieben als:

Beim Vergleich der Einträge sieht man:

Mit einem Vierervektor geschrieben sieht das Gleiche so aus:

Häufiger wird ein Boost in die 3. Richtung wie folgt geschrieben:

wobei

Es bleibt also zu zeigen, dass die beiden Darstellungen äquivalent sind. Die obigen Transformationen sind linear, da sie ja mit Matrizen geschrieben sind:

Daraus folgt:

Bei den hergeleiteten Transformationen handelt es sich also tatsächlich um die bekannten Lorentztransformationen. Die Gruppe SL(2,C) wird zerlegt in SU(2) x SU(2). Dabei steht die erste SU(2) für die Drehungen im dreidimensionalen Raum, also die J₁, J₂ und J₃ . Die zweite SU(2), nämlich die K₁, K₂ und K₃,steht für die 'Boosts', also für den Impuls in den drei Raumrichtungen. Damit ist im Raum der Aussagenpaare, nämlich in der Untergruppe SL(2, C) bereits der Energie-Impulsraum der speziellen Relativitätstheorie enthalten.

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