Diese Seite enthält die exakte Berechnung des Doomsday-Argumentes und des chinesischen Sportanlasses nach Bayes Formel. Ohne die Erklärung dieser Seiten bringt die folgende Rechnung wohl wenig.

Philipp Wehrli, 1. Juni 1995

Chinesischer Sportanlass

Stellen wir uns die folgende Situation vor:

Du weisst vom Sportanlass, dass zwischen 1 und 1'000'000 Tickets verkauft wurden, die durchnummeriert sind. A priori nimmst du an, dass jede dieser 1'000'000 Möglichkeiten gleich wahrscheinlich ist. Nun siehst du dein Billett und siehst, dass du eine Nummer kleiner als 11 gekriegt hast und du fragst dich: „Wie gross ist unter dieser Voraussetzung die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 1'000 und 1'000'000 Leute kommen?“

A priori hättest du gesagt, die Wahrscheinlichkeit dafür sei 99,9%. Denn es gibt 1'000'000 verschiedene mögliche Besucherzahlen und bei 999'000 dieser Möglichkeiten ist die Bedingung erfüllt. Nachdem du aber nur eine sehr kleine Nummer gekriegt hast, bist du misstrauisch und erwartest eine viel kleinere Zahl. Die Frage ist: Womit musst du rechnen?

Es sei:

p(n) = A priori Wahrscheinlichkeit, dass genau n Zuschauer kommen. Gemäss Voraussetzung gilt:

p(n) = 1/1'000'000

p(Nr.<11 | n) = Bedingte Wahrscheinlichkeit, falls genau n Zuschauer kommen, dass mein Ticket zu den ersten 10 gehört.

Für n>10 gilt:

p(Nr.<11 | n) = 10/n

Für n<11 kriege ich mit Sicherheit (Wahrscheinlichkeit 1) eine Nummer kleiner als 11, also ist für n<11:

p(Nr.<11 | n) = 1

Nun stelle ich Bayes Formel auf für den Fall, dass ich eine Nummer kleiner oder gleich 10 kriege, und wissen will, wie gross die Wahrscheinlichkeit p(10³ bis 10⁶ | Nr.<11) ist, dass zwischen 10³ und 10⁶ Zuschauer kommen. Es gilt:

Für n<11 ziehe ich sicher eine Nummer kleiner oder gleich 10. Also gilt für die zehn Summanden mit n<11:

10 * p(Nr.<11 | n) = 10

Nach dem Kürzen ergibt sich:

Für grosse n gilt in guter Näherung:

(der natürliche Logarithmus ln ist ja das Integral von 1/n, ich habe also sozusagen die Summe durch ein Integral ersetzt, was für grosse n näherungsweise stimmt).

Das heisst: Bevor ich meine Billettnummer gesehen habe, habe ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9% erwartet, dass zwischen 1'000 und 1'000'000 Zuschauer kommen. Nachdem ich weiss, dass ich eine Nummer kleiner als 10 habe, rechne ich nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 55.2% damit.

Das Doomsday-Argument

Die Wahrscheinlichkeiten zum Doomsday-Argument könnte man genau analog zum obigen Sportanlass ansetzen. Wenn Wissenschafter über die Zukunft der Menschheit sprechen, so tauchen aber vier mögliche Szenarien immer wieder auf. Ich möchte hier mit Bayes Formel untersuchen, welche dieser Szenarien am plausibelsten ist.

Szenario A
Die Menschheit überlebt noch etwa 100 Millionen Jahre, bis ein grosser Meteorit in die Erde einschlägt und die ganze Erde zerstört. Bis dahin bleibt die Weltbevölkerung und die Lebenserwartung der Ich etwa konstant. Während diesen 100 Millionen Jahren kommen also alle 100 Jahre rund 10 Milliarden Ich zur Welt, was total 10¹⁶ Ich ergibt.

Szenario B
Die Menschheit schafft es, Meteoriten zu sprengen, und überlebt noch rund 4 Milliarden Jahre. Dann dehnt sich die Sonne aus und verbrennt die Erde. Bis zu dieser Zeit leben noch 4*10¹⁷ Ich.

Szenario C
Die Raumfahrttechnik wird weiterentwickelt und die Menschheit kolonialisiert die Milchstrasse. Nach Paul Davies könnten wir schon in 30 Millionen Jahren rund 100´000 Planeten besiedelt haben. Auf jedem dieser Planeten würden dann alle 100 Jahre rund 10 Milliarden Ich geboren und diese Kulturen könnten vielleicht noch einmal 10 Milliarden Jahre überleben. Insgesamt ergäbe dies rund 10²³ Ich.

Szenario D
Die Menschheit schafft es nicht, eine nachhaltige Lebensweise zu entwickeln und stirbt schon in relativ kurzer Zeit aus. Nach uns kommen nur noch etwa zehn Mal so viele Ich, wie vor uns schon lebten, also etwa 5*10¹¹.

Jeder kann für sich die a priori Wahrscheinlichkeiten p(A), p(B), p(C) und p(C) für die vier Szenarien schätzen. Wir gehen von der Beobachtung x aus, dass vor uns nur gerade rund 5*10¹⁰ Ich lebten. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten dafür sind:

p(x | A) = 5*10^-6
p(x | B) = 1,25*10^-7
p(x | C) = 5*10^-13
p(x | D) = 0,1

Setzen wir z. B. die a priori Wahrscheinlichkeiten wie folgt:
p(A) = 0,33
p(B) = 0,33
p(C) = 0,339
p(D) = 0,001
Das heisst, wir halten Szenario D a priori für praktisch ausgeschlossen. Wir sagen, die Menschheit stirbt nicht so schnell aus. Mit Bayes Formel ergibt sich:
 

Also p(D | x) = 0,983 = 98,3 %

Obwohl ich a priori das Szenario D praktisch ausgeschlossen habe, ist es nun mit Abstand das wahrscheinlichste, nachdem ich meine Position in der Menschheit gesehen habe.

Weiterführende Bücher:
 

Leslie John, ‘The end of the world - the science and ethics of human extinction’, (1996), Routledge, London

von Randow, Gero, ‘Das Ziegenproblem - Denken in Wahrscheinlichkeiten’, (1992), Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg Sehr unterhaltsames allgemeinverständliches Buch über alltägliche Fehlüberlegungen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nebenbei werden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Bayes Erkenntnisformel sehr anschaulich erklärt.

Wickmann, Dieter, ‘Bayes-Statistik - Einsicht gewinnen und Entscheiden bei Unsicherheit’, (1990), Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim Ein Mathematiklehrbuch zur Bayes Statistik für Profis.